以下级数可以算出精确值吗

pizza49

$\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}(n\ln(1+\frac{1}{n} )-1)=?$

northwolves

$\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}(n\ln(1+\frac{1}{n} )-1)=\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}ln(\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{e})=\frac{1}{2} ln(\frac{2}{\pi})$

pizza49

northwolves 发表于 2025-9-16 22:29
$\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}(n\ln(1+\frac{1}{n} )-1)=\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}ln(\frac{(1+\f ...

你的结果很接近，图片算的近似值，跟你结果还是存在偏差

Ickiverar

1. 1+Log[(2^(1/6) Sqrt[\[Pi]])/Glaisher^6]

复制代码

pizza49

Ickiverar 发表于 2025-9-18 22:43

这个怎么得到？可以写写吗？

mathe

这个题目关键还是如何高精度计算，比如我们可以把原始级数改写为
\(\frac12\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}-\frac13\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n\ln(1+\frac1n)-1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2})=\frac{\ln(2)}2-\frac{\pi^2}{36}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n\ln(1+\frac1n)-1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2})\)
那么这时计算收敛速度就比较快了，比如无穷求和式只计算前面10000位可以得到
0.19536261081519376，
就算10001位可以得到
0.19536261081544366
可以看出有12位计算精度
我们还可以继续改进，比如改写为
\(\frac{\ln(2)}2-\frac{\zeta(2)(1-2^{-1})}3+\frac{\zeta(3)(1-2^{-2})}4-\frac{\zeta(4)(1-2^{-3})}5+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n\ln(1+\frac1n)-1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+\frac1{4n^3}-\frac1{5n^4})\)
可以得到计算10000项结果为
0.19536261081531873002356
计算10001项结果为
0.19536261081531873002523
就有20位计算精度了

Ickiverar

pizza49 发表于 2025-9-19 07:39
这个怎么得到？可以写写吗？

其实我只是把这个级数两项合一项变成正项级数，然后塞进Mathematica就直接出来了，我也不知道怎么算的

Jack315

将原级数分成奇级数 \(n=2k-1\) 和偶级数 \(n=2k\)，其中 \(k=1,\cdots, \infty\) ：
\(\text{sodd}(k)=(2k-1)\ln\left(1+\frac{1}{2k-1}\right)-1\)
\(\text{seven}(k)=2k\ln\left(1+\frac{1}{2k}\right)-1\)

1. sodd[k_] := (2 k - 1) Log[1 + 1/(2 k - 1)] - 1
   
2. seven[k_] := 2 k Log[1 + 1/(2 k)] - 1

复制代码

\(\D\sum_{n=1}^{+\infty } (-1)^{n}\left[n\ln(1+\frac{1}{n} )-1\right]=\sum_{k=1}^{+\infty } [\text{seven}(k)-\text{sodd}(k)]=1+\ln\left(\frac{2^{1/6}\sqrt{\pi}}{\text{Glaisher}^6}\right)\)
其中：\(\text{Glaisher} =1.2824271291006226369\) 为格莱舍常数。

1. result = Sum[seven[k] - sodd[k], {k, 1, \[Infinity]}]
   
2. FullSimplify[result]

复制代码

级数和的精确值为：0.19536261081531873002440106779620826058534581350649

1. N[result, 50]

复制代码

pizza49

Jack315 发表于 2025-9-20 08:31
将原级数分成奇级数 \(n=2k-1\) 和偶级数 \(n=2k\)，其中 \(k=1,\cdots, \infty\) ：
\(\text{sodd}(k)=(2k ...

出了这常数 大概能猜到了咋整了