递推数列通项的阶估计

kastin

求如下递推数列通项`a_n`的阶(原题来自知乎，这里汇总并推广讨论)：
1.`a_{n+1}=a_n+\ln a_n-1`，`a_1>3`
2.`a_{n+2}=a_{n+1}+\ln a_n-1`，`a_1=2`，`a_2=3`
3.`a_{n+2}=a_{n+1}+\D\frac{1}{\ln a_n}`，`a_1=2`，`a_2=3`
4.`a_{n+1}=a_n+\D\frac{1}{S_n}`，`a_1=1`

mathe

拿第一个式子为例子，我们设\(b_n=\frac1{a_n}\), 于是可以得到
\(b_{n+1}=b_n+\frac{b_n^2(1+\ln(b_n))}{1-b_n(1+\ln(b_n))}\)
也就是我们需要分析\(b_n\)逼近0的速度。
同链接中方案比较，
我们可以发现主要区别在于这里的右边\(b_n\)的函数已经包含了对数项，而链接里面是最终逼近式里面才出现对数项。
我猜测最终形式应该和链接中相似。