x^2 - y^2 = 6999...

王守恩

13^2 - 10^2 = 69。
118^2 - 115^2 = 699。
1168^2 - 1165^2 = 6999。
11668^2 - 11665^2 = 69999。
860^2   -  199^2 = 699999。——我们取最小的 1 对。
2968^2  - 1345^2 = 6999999。
686300^2-686249^2=69999999。
26468^2  - 745^2  =  699999999。
130040^2 - 99551^2 = 6999999999。
......

x={13, 118, 1168, 11668, 860, 2968, 686300, 26468, 130040, 11666666668, 205038932, 1069356968, 376344086068, 1977401130032, 131603668, 11666666666666668, 2094527840, 2382601486168, 1000468524020, 44767095441068}
y={10, 115, 1165, 11665, 199, 1345, 686249, 00745, 099551, 11666666665, 205037225, 1069353695, 376344085975, 1977401129855, 101585065, 11666666666666665, 1920168449, 2382600017185, 1000433539799, 44767087622825}

1. Table[Solve[{x^2 - y^2 == 7*10^n - 1}, {x, y}, PositiveIntegers][[1]], {n, 9}]

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这通项公式怎么来？谢谢！

northwolves

1. Table[t=7*10^n-1;{(#+t/#)/2,Abs[(#-t/#)/2]}&@First@Nearest[Divisors[t],Sqrt[t]],{n,20}]

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1. Table[t=7*10^n-1;y=First@Nearest[Divisors[t],Sqrt[t]];x=t/y;{(x+y)/2,Abs[(x-y)/2]},{n,20}]

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{{13,10},{118,115},{1168,1165},{11668,11665},{860,199},{2968,1345},{686300,686249},{26468,745},{130040,99551},{11666666668,11666666665},{205038932,205037225},{1069356968,1069353695},{376344086068,376344085975},{1977401130032,1977401129855},{131603668,101585065},{11666666666666668,11666666666666665},{2094527840,1920168449},{2382601486168,2382600017185},{1000468524020,1000433539799},{44767095441068,44767087622825}}

nyy

您这个属于分解质因素，
很难的

northwolves

nyy 发表于 2025-10-16 16:36
您这个属于分解质因素，
很难的

1. Table[t = 7*10^n - 1; (# + t/#)/2 &@First@Nearest[Divisors@t, Sqrt@t], {n, 30}]

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northwolves

1. Table[t = 7*10^n - 1; Abs[(# - t/#)/2] &@First@Nearest[Divisors@t, Sqrt@t], {n, 30}]

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