构造 10 个 [1,10^9] 内的整数，如何最大化这些数因数的并集大小？

northwolves

构造 1000 个 [1,10^9] 内的整数，如何最大化这些数因数的并集大小？
构造 10 个 [1,10^9] 内的整数，如何最大化这些数因数的并集大小？100个呢？1000个呢？10000个呢？

mathe

这种应该很难找到最优解，能否先看看怎样才能找一些看起来不错的解。
我们先限定每个数都形如
\(2^a\times 3^b\times \prod_{k=1}^h p_k\)
其中\(p_k\)都是不同的在所有数中都不会重复出现的大于3的素数。
而通常h不会太大，而我们选定每个数中\(p_k\)后，再选择a,b组合产生尽量多因子（不包含只含2/3素因子的因子）。
由于上面这种方案产生的排除只含2，3素因子的因数数目为\((a+1)(b+1)(2^h-1)\)
我们可以通过选择一些数（不超过\(10^9\)）使得对应的上面表达式能够尽量大，可能可以产生一些看上还不错的解。