n^2=a^2+b^2-1

王守恩

不定方程。n, a, b 是不同的数。\(n^2=a^2+b^2-1\)     n 能跑遍所有自然数吗？谢谢！

不定方程。n, a, b 是不同的数。\(n^2=a^2+b^2-2\)

不定方程。n, a, b 是不同的数。\(n^2=a^2+b^2-3\)

狠一点。n, a, b, c 是不同的数。\(n^2=a^2+b^2-c^2\)     n 能跑遍所有自然数吗？谢谢！！

更狠一点。n, a, b, c 是不同的数。\(n^2=a^2+b^2-c^k\)  k(固定)     n 能跑遍所有自然数吗？谢谢！！！

譬如。  n, a, b, c 是不同的数。\(n^2=a^2+b^2-c^3\)

            n, a, b, c 是不同的数。\(n^2=a^2+b^2-c^4\)

            n, a, b, c 是不同的数。\(n^2=a^2+b^2-c^5\)

gxqcn

这个问题是不是问得比较水？让 \(n=a, b=1\)，等式 \(n^2=a^2+b^2-1\)不就恒成立了么？

northwolves

狠一点。n, a, b, c 是不同的数。  $n^2=a^2+b^2-c^2$ ,  n 能跑遍所有自然数吗？
----------------------
{a,b,c}=n*{{4,7,8},{6,17,18},{7,11,13},{8,9,12},{8,31,32},{9,19,21},{10,15,18},{10,49,50},{11,13,17},{11,29,31},{12,71,72},{13,19,23},{13,41,43},{14,17,22},{14,31,34},{14,97,98},{15,26,30},{15,55,57},{16,23,28},{16,41,44},{17,21,27},{17,34,38},{17,71,73},{19,27,33},{19,43,47},{19,89,91},{20,25,32},{20,65,68},{21,53,57},{22,31,38},{22,79,82},{23,29,37},{23,41,47},{23,64,68},{24,55,60},{25,35,43},{25,49,55},{25,76,80},{26,33,42},{26,65,70},{27,89,93},{28,39,48},{29,37,47},{29,67,73},{31,34,46},{31,43,53},{31,56,64},{31,77,83},{32,41,52},{33,64,72},{34,47,58},{34,79,86},{35,45,57},{36,89,96},{37,51,63},{38,49,62},{39,71,81},{39,91,99},{40,55,68},{41,53,67},{41,64,76},{41,79,89},{43,59,73},{43,71,83},{44,57,72},{46,63,78},{47,61,77},{47,86,98},{49,50,70},{49,67,83},{50,65,82},{51,55,75},{52,71,88},{53,69,87},{55,75,93},{56,73,92},{58,79,98},{59,77,97},{69,71,99}}

northwolves

更狠一点。n, a, b, c 是不同的数。$n^2=a^2+b^2-c^k$  k(固定)
c=1 or  r^2

王守恩

\((2 k)^2=(2 k - 4)^2 + (k + 3)^2 - (k - 5)^2\)

\((2 k + 1)^2=(2 k - 1)^2 + (k + 2)^2 - (k - 2)^2\)

王守恩

northwolves 发表于 2025-12-17 18:06
狠一点。n, a, b, c 是不同的数。  $n^2=a^2+b^2-c^2$ ,  n 能跑遍所有自然数吗？
---------------------- ...

\(00=0^2+1^2-1^2\)
\(01=1^2+2^2-2^2\)
\(02=1^2+1^2-0^2\)
\(03=0^2+2^2-1^2\)
\(04=2^2+1^2-1^2\)
\(05=1^2+2^2-0^2\)
\(06=3^2+1^2-2^2\)
\(07=2^2+2^2-1^2\)
\(08=4^2+1^2-3^2\)
\(09=3^2+2^2-2^2\)
\(10=5^2+1^2-4^2\)
\(11=4^2+2^2-3^2\)
\(12=6^2+1^2-5^2\)
\(13=5^2+2^2-4^2\)
\(14=7^2+1^2-6^2\)
\(15=6^2+2^2-5^2\)
\(16=8^2+1^2-7^2\)
\(17=7^2+2^2-6^2\)
\(18=9^2+1^2-8^2\)
\(19=8^2+2^2-7^2\)

\(\cdots\cdots\)

这个 $-$ 改 $+$ 就不行了？！

王守恩

northwolves 发表于 2025-12-17 18:06
狠一点。n, a, b, c 是不同的数。  $n^2=a^2+b^2-c^2$ ,  n 能跑遍所有自然数吗？
---------------------- ...

\(00=0^2+1^2-1^2\)
\(01=1^2+2^2-2^2\)
\(02=1^2+1^2-0^2\)
\(03=0^2+2^2-1^2\)
\(04=2^2+1^2-1^2\)
\(05=1^2+2^2-0^2\)
\(06=3^2+1^2-2^2\)
\(07=2^2+2^2-1^2\)
\(08=4^2+1^2-3^2\)
\(09=3^2+2^2-2^2\)
\(10=5^2+1^2-4^2\)
\(11=4^2+2^2-3^2\)
\(12=6^2+1^2-5^2\)
\(13=5^2+2^2-4^2\)
\(14=7^2+1^2-6^2\)
\(15=6^2+2^2-5^2\)
\(16=8^2+1^2-7^2\)
\(17=7^2+2^2-6^2\)
\(18=9^2+1^2-8^2\)
\(19=8^2+2^2-7^2\)

\(n=\lfloor n/2 - \gcd(n - 1, n + 1)+ 1\rfloor^2 + \gcd(n - 1, n + 1)^2 - \lfloor n/2 - \gcd(n - 1, n + 1)\rfloor^2\)

这通项公式怪怪的。不好看！

王守恩

接5#。\(n^2=a^2+b^2+c^2\) ——n 是不可以跑遍所有自然数！ \(n^2=a^2+b^2-c^2\) ——n 是可以跑遍所有自然数！

\((2 k)^2=(2 k - 4)^2 + (k + 3)^2 - (k - 5)^2\)

\((2 k + 1)^2=(2 k - 1)^2 + (k + 2)^2 - (k - 2)^2\)

\(00^2=4^2+3^2-5^2\)
\(01^2=1^2+2^2-2^2\)
\(02^2=2^2+4^2-4^2\)
\(03^2=1^2+3^2-1^2\)
\(04^2=0^2+5^2-3^2\)
\(05^2=3^2+4^2-0^2\)
\(06^2=2^2+6^2-2^2\)
\(07^2=5^2+5^2-1^2\)
\(08^2=4^2+7^2-1^2\)
\(09^2=7^2+6^2-2^2\)
\(10^2=6^2+8^2-0^2\)
\(11^2=9^2+7^2-3^2\)
\(12^2=8^2+9^2-1^2\)
\(13^2=11^2+8^2-4^2\)
\(14^2=10^2+10^2-2^2\)
\(15^2=13^2+09^2-5^2\)
\(16^2=12^2+11^2-3^2\)
\(17^2=15^2+10^2-6^2\)
\(18^2=14^2+12^2-4^2\)
\(19^2=17^2+11^2-7^2\)
\(20^2=16^2+13^2-5^2\)
\(21^2=19^2+12^2-8^2\)
\(22^2=18^2+14^2-6^2\)
\(23^2=21^2+13^2-9^2\)
\(24^2=20^2+15^2-7^2\)
\(25^2=23^2+14^2-10^2\)
\(26^2=22^2+16^2-08^2\)
\(27^2=25^2+15^2-11^2\)
\(28^2=24^2+17^2-09^2\)
\(29^2=27^2+16^2-12^2\)
\(30^2=26^2+18^2-10^2\)
\(31^2=29^2+17^2-13^2\)
\(32^2=28^2+19^2-11^2\)
\(33^2=31^2+18^2-14^2\)
\(34^2=30^2+20^2-12^2\)
\(35^2=33^2+19^2-15^2\)
\(36^2=32^2+21^2-13^2\)
\(37^2=35^2+20^2-16^2\)
\(38^2=34^2+22^2-14^2\)
\(39^2=37^2+21^2-17^2\)

\(n^2=\bigg(n - 3 - \cos(n\pi)\bigg)^2 +\bigg(\frac{2 n + 9 + 3 \cos(n\pi)}{4}\bigg)^2 - \bigg(\frac{2 n - 15 - 5\cos(n\pi)}{4}\bigg)^2\)

王守恩

\(n=a^2-b^2-c^2\)

\(00=1^2-0^2-1^2\)
\(01=3^2-2^2-2^2\)
\(02=2^2-1^2-1^2\)
\(03=4^2-3^2-2^2\)
\(04=3^2-2^2-1^2\)
\(05=5^2-4^2-2^2\)
\(06=4^2-3^2-1^2\)
\(07=6^2-5^2-2^2\)
\(08=5^2-4^2-1^2\)
\(09=7^2-6^2-2^2\)
\(10=6^2-5^2-1^2\)
\(11=8^2-7^2-2^2\)
\(12=7^2-6^2-1^2\)
\(13=9^2-8^2-2^2\)  
\(14=8^2-7^2-1^2\)

\(n=\bigg(\frac{2 n + 7 - 3\cos(n\pi)}{4}\bigg)^2 - \bigg(\frac{2 n + 3 - 3\cos(n\pi)}{4}\bigg)^2 - \bigg(\frac{3 - \cos(n\pi)}{2}\bigg)^2\)