每天一题

数论爱好者

会者不难,难者不会

数论爱好者

题目不够严谨,我把它限制一下:n≥1

Jack315

\(a=\big(\frac{4}{2^\sqrt{2}}\big)^{2+\sqrt{2}}\)
\(\log_2a=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2\)
\(a=2^2=4\)

数论爱好者

Jack315 发表于 2026-1-3 11:18
\(a=\big(\frac{4}{2^\sqrt{2}}\big)^{2+\sqrt{2}}\)
\(\log_2a=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2\)
\(a=2^2=4\) ...

可以不用log符号.这题的技巧在4,把4写成2^2,于是这题相当于中国的初中试题.

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2026-1-3 13:50
可以不用log符号.这题的技巧在4,把4写成2^2,于是这题相当于中国的初中试题.
...

又一题,我没有做出来,一般的a和b带进去,好像不成立.

Jack315

数论爱好者 发表于 2026-1-3 19:30
又一题,我没有做出来,一般的a和b带进去,好像不成立.

完整的命题：
\(\frac{a^2+b^2}{ab+1}=n\)，其中：\(a,b,n\in N^+\)（正整数），求证：\(n\) 是平方数。

如：
\(a=b=n=1\)
\(a=2,b=8, n=4\)

Jack315

Jack315 发表于 2026-1-6 20:57
完整的命题：
\(\frac{a^2+b^2}{ab+1}=n\)，其中：\(a,b,n\in N^+\)（正整数），求证：\(n\) 是平方数。
...

假设 \(a\le b\) ，则有不等式 \((n-1)a<b\le na\)。
可以证明 \(b\) 的取值只能为 \(na\) ，从而得到此题的解为：
\(\frac{a^2+(na)^2}{a(na)+1}=n\rightarrow a^2+n^2a^2=n^2a^2+n\rightarrow n=a^2\)
\(b=na=a^3\)，其中：\(a\in N^+\)

数论爱好者

Jack315 发表于 2026-1-7 16:51
假设 \(a\le b\) ，则有不等式 \((n-1)a

在不借助软件的情况下试着挑战24点的70个难解类型.