寻找四元组

wayne

mathe 发表于 2026-1-24 09:59
还是我那种记号，有\(1+A^2=(U-C)(U+C)\), 记\(V=\frac{U-C}2\)为一个参数，那么\(C=\frac{1+A^2}{4V}-V\)  ...

我现在按照mathe的这个思路改进了我的代码中关于 二元组的生成，采用整数分解$d^2(u^2+v^2)$.
然后d从1到500,生成候选的二元组，只保留10000以下的，测试了一遍截至目前为止 已知的31个解。 发现全部都能 复现出来！
将d改成100,只有三个解会遗漏，分别是17/56, 10/221，112/325。

mathe

A,B,...=1206/1945,610/22173,...

wayne

要追赶mathe的进度着实不易，这背后的代价是12小时，5度的电费，才产出一个新的解，
终于，我也可以补充一个mathe没有的。我是倒过来的，(a,b,c,d),其中 a,b= 1751/2292, 5768/3363

mathe

2892/1255,7880/2259

mathe

现在规律，在最小的数的高度限定为H(\(H\ge 100\))的情况下, 解的数目约\(\log_{1.14}\frac{H}{36}\)

wayne

设其中一个数是$s$,那么另外三个数是$f(s,x),f(s,y),f(s,z)$，其中$f(u,v)=\frac{2uv}{u^2+1-v^2}$，于是问题就是讨论 三个方程的有理解，$(1 + s^2)^2 (x^2 + z^2) + x^2 z^2 (x^2 + z^2 - 4) = P^2, (1 + s^2)^2 (x^2 + y^2) + x^2 y^2 (x^2 + y^2 - 4)  =   Q^2, (1 + s^2)^2 (y^2 + z^2) + y^2 z^2 (y^2 + z^2 - 4) = R^2$
不知道是否能够 根据这三个轮换对称的方程，推出$s$的模特征

wayne

春节期间，mathe和我已经计算到40组解了，实现了翻倍，比原出题人 Andrew Bremner 的20组计算数据多出了一倍。现在只列出每组中的第1个数：

1. {1/3}
   
2. {3/5}
   
3. {3/13}
   
4. {4/13}
   
5. {7/23}
   
6. {7/32}
   
7. {17/56}
   
8. {59/74}
   
9. {93/130}
   
10. {133/69}
    
11. {135/56}
    
12. {148/21}
    
13. {93/220}
    
14. {10/221}
    
15. {248/99}
    
16. {38/307}
    
17. {112/325}
    
18. {259/362}
    
19. {376/85}
    
20. {73/470}
    
21. {527/490}
    
22. {271/582}
    
23. {593/504}
    
24. {287/660}
    
25. {737/956}
    
26. {311/1216}
    
27. {63/1336}
    
28. {1327/1620}
    
29. {851/1632}
    
30. {710/1781}
    
31. {1945/1206}
    
32. {649/2062}
    
33. {1751/2292}
    
34. {1255/2892}
    
35. {3229/2972}
    
36. {1003/3300}
    
37. {3617/594}
    
38. {239/4212}
    
39. {4429/3130}
    
40. {32/5113}

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