寻找四元组

wayne

据说是一个很古老的题目，最终就是要寻找这样的四个正的有理数$(a,b,c,d)$，越多越好,使得其中任意的两个数$(X,Y)$，都满足$f(X,Y)$是平方数,其中$f(x,y)=x^2y^2+x^2+y^2$
也就是说，要让下面的六个表达式都是平方数。
\[a^2b^2+a^2+b^2, \\ a^2c^2+a^2+c^2, \\a^2d^2+a^2+d^2,\\b^2c^2+b^2+c^2, \\b^2d^2+b^2+d^2, \\c^2d^2+c^2+d^2\]

风云剑

(0,0,0,0)

楼下继续

nindilg

四元组: ['7/26', '9/46', '15/26', '4/13']，互不相等的最小正有理数解。

liuguangxi

考虑特殊解：
取任意 $u \in \mathbb{Q}\\{0}$，令 $a = b = c = d = (u^2-2)/(2u)$，
则六个表达式都等于 $((u^4-4)/(4u^2))^2$，为平方数。

例如取 $u = 2,3,4,5$，对应解为：
$(1/2,1/2,1/2,1/2)$
$(7/6,7/6,7/6,7/6)$
$(7/4,7/4,7/4,7/4)$
$(23/10,23/10,23/10,23/10)$

wayne

我找到了一个有理解:使得 $f(x,y)=x^2y^2+x^2+y^2=z^2$的有理解有三种表达式，分别是
1） $[x,y]=[-\frac{(u-1) (u+1) v}{u (v^2+1)},-\frac{2 v}{(v-1) (v+1)}]$,
2） $[x,y]=[\frac{(u-1) (u+1) (v-1) (v+1)}{2 u (v^2+1)},-\frac{(v-1) (v+1)}{2 v}]$,
3） $[x,y]=[-\frac{u (v^2+1)}{(u-1) (u+1) v},\frac{2 u (v^2+1)}{(u-1) (u+1) (v-1) (v+1)}]$,
取这六个表达式的4个，比如$-\frac{u (v^2+1)}{(u-1) (u+1) v}=a$,或者$\frac{2 u (v^2+1)}{(u-1) (u+1) (v-1) (v+1)}=a$只要给定$a$，就都是关于$u,v$的椭圆曲线。

northwolves

解方程$(1+x^2)(1+y^2)=1+z^2$
易知$(1+x^2)(1+y^2)=(x+y)^2+(1-xy)^2$
令$x+y=1,1-xy=z$ 解得：${x,y}=\frac{1 \pm \sqrt{4z-3}}{2}$
显然${x=k,y=k-1,z=k^2-k+1}$是一组通解

liuguangxi

感觉除了前面给出的互不相等的最小正有理数解外，其他解可能不存在或者分子分母的数值将极其巨大。