求解扫过的面积

葡萄糖

图中四边形CDEF为平行四边形，BC+CD+DE=AB=EG

葡萄糖

@hujunhua
这动态图只是整个运动的一部分
图中四边形CDEF为平行四边形，BC+CD+DE=AB=EG=l(常数)
AB、BC、CD、DE、EG为定值！

wayne

葡萄糖 发表于 2014-1-23 18:38
@hujunhua
这动态图只是整个运动的一部分
图中四边形CDEF为平行四边形，BC+CD+DE=AB=EG=l(常数)

设$ED=a,DC=a,CB=c$, 以$B$为原点建立直角坐标系，得到$G$的轨迹方程为：
\[x^2 \left((b+c)^2 \left(x^2-4 (a+c)^2\right)+2 y^2 \left(b^2+c^2\right)\right)+y^4 (b-c)^2=0\]
$E$的轨迹方程是：

\[x^2 \left(a^2 \left(x^2-2 \left((a+c)^2+b^2\right)\right)+2 y^2 \left(a^2+2 a c+2 c^2\right)\right)+\left(a (a-b+c) (a+b+c)-y^2 (a+2 c)\right)^2=0\]

wayne

做了一个动画：
http://www.geogebratube.org/student/m79003

wayne

楼主的示例图 对应的是$CD<BC$的情况：
当C点到AB的距离大于CD的长度的时候，D点无法再附着在AB上了。

画出来的轨迹方程 是这种情况：


===
另外，是求EG线段扫过的面积吗？
那岂不是 还要算EG直线的包络曲线？

wayne

当CD>BC的时候 连杆是可以做360度运动的：

，

mathe

顶点曲线的轨迹比较简单，还需要计算上面那条包络线

wayne

设$BC$直线的倾斜角为 $\beta$, 发现直线$EG$的包络曲线 无法化简掉参数.而且 连参数方程都不是简明的,都是二次式子.
设包络线上的一点坐标是${x,y}$,那么包络线由下面的方程决定.

横坐标x的参数决定式(关于x的二次式):
\[8 b^2 c^2 x (a+c) \cos (\beta ) ((8 b^2-4 c^2) \cos (2 \beta )+c^2 \cos (4 \beta )+3 c^2)+(a+c)^2 (c^2-b^2) (-16 b^4+12 b^2 c^2+(4 b^2 c^2-6 c^4) \cos (4 \beta )+(-16 b^4-16 b^2 c^2+15 c^4) \cos (2 \beta )+c^4 \cos (6 \beta )-10 c^4)-32 b^4 c^2 x^2 \cos ^2(\beta ) =0 \]
纵坐标y的参数决定式(关于y的二次式):
\[2 c^2 (a+c)^2 \left(c^2-b^2\right) \sin ^6(\beta )+2 b^2 y \cos ^2(\beta ) \left(b^2 y-2 c^2 (a+c) \sin ^3(\beta )\right) =0 \]