求解几个极小曲面的方程

葡萄糖

谢谢！

mathe

你应该好好学下如何提问题

wayne

楼主给的 立方体骨架是什么意思？  红色是指肥皂泡薄膜接触的部分？

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我们可以简化一下楼主的问题 ，给定一个空间曲线，求由该曲线所约束的极小曲面的方程？
显然，约束曲线如果是平面曲线的话，极小曲面就是该曲线所在的平面。

根据空间曲线的是否处处可导，我们可以分以下几种情况

1) 处处光滑函数.  如果该曲线由参数方程${f(t),g(t),h(t)}$决定，似乎可以从数学分析的角度解决,怎么解决？
2) 分段函数.  比如，楼主的图片，红色部分才是有效的约束曲线，其实就是由两根，三根，n根空间弯折的线段连接而成
3) 不连续的组合曲线, 比如楼主给的一个立方体骨架, 如果薄膜接触的边长更多 ,  这个就更加复杂了

wayne

搜索了一下，发现空间四边形约束的 极小曲面已经有完美的解决方案，就是一个偏微分方程

http://mathworld.wolfram.com/SkewQuadrilateral.html

wayne

楼主的这个问题,有一个名词.  Plateau's Problem,普拉托问题

普拉托问题是数学中与极小曲面有关的一类问题，旨在研究在边界固定时极小表面的存在性。此问题最早由十八世纪的法国数学家拉格朗日在1760年提出。而之后比利时人约瑟夫·普拉托在十九世纪进行了大量关于皂液膜（肥皂泡）的实验，并总结出了一些与极小曲面以及此问题有关的定律（普拉托定律）

普拉托定律是有关皂液膜的一个经验定律，由19世纪比利时物理学家约瑟夫·普拉托在大量的实验观测之基础上总结而出。普拉托定律一共包括如下四条经验定律：

皂液膜由完全光滑的表面组成。
皂液膜的任一部分的平均曲率在同一片膜上的每一点上都是常数。
皂液膜表面的交界一定是由三个表面相接构成的曲线，称为“普拉托边界”，交界处两两表面形成的平面交角都是 cos−1(−1/2)  =  120 度。
普拉托边界之间相交一定是由四条边界相交构成一个交点，在交点处，四个边界线两两之间的交角都相同，等于 cos−1(−1/3) ≈ 109.47 度，如同正四面体的中心与四个顶点连接的连线两两之间所构成的交角一样。
如果皂液膜的结构不遵循普拉托定律，那么这个结构是不稳定的。它将很快破灭或改变结构，最终变为符合普拉托定律的结构。

普拉托定律是极小曲面应当满足的条件。约翰·泰勒用几何测度论的方法给出了这个结论的数学证明[1][2]。

wayne

在视频9分05秒的地方，提示了是Scherk's surface
http://www.youtube.com/watch?v=YdneSMKObls