最小旋转曲面问题

葡萄糖

为什么是悬链面，而不是圆柱面？
在平面上连接两点的光滑曲线中，求把它绕x轴旋转所得曲面面积为最小的一条曲线。建立该问题的泛函极值模型，并用变分法解决此问题。
虽说有严格的证明，可我总感觉怪怪的。如果把悬链面与圆柱面的轴截面的截线对比，明显线段比悬链线短。
这是为什么？

倪举鹏

肯定不是圆台侧面，两点垂直于X轴，两个高，加上中间线段， 3个折线旋转后面积会最最小啊，

yinhow

最小是指面积最小，面积变分中含有平均曲率，详细推倒请参考陈维恒的《极小曲面》

倪举鹏

我理解了。这是规定了连接两点的线的长度有限啊……想想一下，用一个保鲜膜用力缠绕圆柱凹槽后，保鲜膜的形状吧

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http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1339/

kastin

凡是涉及到自然规律的时候，往往e这个数就会出现。因为大自然是按照最小作用量原理运作的。

下面文字引用自“数学生活”中的一篇文章（http://www.smxpt.cn/jpkc/gdsx/link/sxjw/shuxueshenghuo/xuanlianxian.htm）：

法国著名昆虫学家法布尔（J. H. Fabre, 1823～1915）在其《昆虫记》一书第九卷中有一段文字专门讲e这个神奇的数：

“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了。当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线。这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状；这就是一张被风吹鼓起来的船帆外形的那条线条，这就是母山羊耷拉下来的乳房装满后鼓起来的弧线。而这一切都需要e这个数。”

“一小段线头里有多么深奥的科学啊！我们不要对此感到惊奇。一个挂在线端的小铅丸，一滴沿着麦秸淌的露水，一洼被微风轻拂吹皱的水面，总之，随便什么东西，当必须加以计算的时候，都要用上大量的数字。我们要有海格立斯的狼牙棒，才能够降伏一只小飞虫。”

“现在，这个奇妙的数e又出现了，就写在蜘蛛丝上。在一个浓雾弥漫的清晨，让我们检视一下夜间刚刚织好的网吧。粘性的蜘蛛丝，负著水滴的重量，弯曲成一条条悬链线，水滴随著曲线的弯曲排成精致的念珠，整整齐齐，晶莹剔透。当阳光穿过雾气，整张带著念珠的网映出彩虹般的亮光，就像一丛灿烂的宝石。e这个数是多么地辉煌。”

蜘蛛网

你小时候也许都吹过肥皂泡吧！信不信由你，介于空中两个平行圆面之间的肥皂膜就是上面将的悬链线绕一条轴旋转而成的旋转体。这是因为这样的曲目构成的表面张力最小。

悬链线回转面

法拉第在他晚年为了进行科普宣传，每年圣诞为孩子们和无家可归等穷困的人们进行科普讲座，宣传科学知识，其中有节课专门进行了最小曲面（肥皂泡实验）相关讲解，大家可以买《圣诞科学讲座》这本书看看。我曾经看过，感觉很有启发性，文中没有多少数学公式，几乎都是使用物理常识和直观概念，容易懂。