曲线问题求解释

葡萄糖

形形色色的曲線裡,截錐曲線(conic section) 是學解析幾何時最先遭遇到的。它們不外是把兩個焦點固定之後, 取距離之和或差為定值的軌跡, 形成橢圓和雙曲線,或者把兩個焦點重疊起來, 退化成圓和直線,(見圖二) 再利用這些線組都是垂直相交的原理, 得到拋物線作為橢圓的垂直軌跡(Orthogonal Trajectory)。希臘古典幾何的重要成果之一, 就是阿波龍(Apollonius)有系統的研究這些曲線。而榮耀歸於真主, 被阿拉伯人留傳了下來。截錐曲線這個家族還有一些近親, 比方把焦點增加成三個, 就成了弧三角形。這樣的曲線十分類似德國工程師F. Wenkel設計的輪轉引掣。還有一些遠親, 比方把和差換成乘積, 則有卡西尼的卵形線(Ovals of Cassini), 以平面上複數坐標來表示, 這些線普遍可以表示成|z^n − 1| = C。
卵形線個個風流蘊藉, 玲瓏有致。其中翹楚,尤為綺麗的是n = 2時, 特別又稱為白努力雙扭線(Lemniscate of Bernoulli)

弧三角形？
|z^n − 1| = C？

葡萄糖

什么是弧三角形？
以平面上複數坐標來表示, 哪些線可以表示成|z^n − 1| = C？

数学星空

也许，你想要的是如下弧三角形

设曲线的焦点为正三角形三个顶点\( (0,0),(0,1),(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)

则曲线为

\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}-2=0\)

即下面的图形

数学星空

对于复平面曲线：

取\(n=2\)，设\(Z=x+yI\)

可以得到 曲线方程 \((x^2-y^2-1)^2+(2xy)^2-c^2＝0\)

分别取\(c=0.5,1,1.5,2,3\)画图得到



对于\(n=3\),可以得到曲线方程 \((x^3-3xy^2)^2+(3x^2y-y^3)^2-c^2＝0\)

分别取\(c=0,0.5,1,1.5,2\),画图得到

葡萄糖

数学星空 发表于 2014-2-16 11:16
也许，你想要的是如下弧三角形

设曲线的焦点为正三角形三个顶点\((0,0),(0,1),(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)
则曲线为\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=2\)

·请问：弧三角形的这个性质有没有几何证法？

葡萄糖

数学星空 发表于 2014-2-16 11:43
对于复平面曲线：

取\(n=2\)，设\(Z=x+yI\)

这个问题是来自一本叫《数学传播》的台湾杂志
是中华民国中央研究院数学研究所于创办的数学杂志
第 16 卷 第 4 期
計算橢圓積分 平斯