寻正整数

葡萄糖

规定用字母表示十进制数 \( \overline{a_1a_2\cdots a_n} \)，

(1) 求满足：\[\begin{align*}
\overline{n(n-1)}&=m^p &&\left( n=1,2,3,\dots,9,\>m \in \NN^+,\>p=1,2,\dots \right) \\
\overline{n(n-1)(n-2)}&=m^p &&\left( n=\phantom{1,}2,3,\dots,9,\>m \in \NN^+,\>p=1,2,\dots \right) \\
\overline{n(n-1)(n-2)(n-3)}&=m^p &&\left( n=\phantom{1,2,}3,\dots,9,\>m \in \NN^+,\>p=1,2,\dots \right) \\
&\cdots && \cdots \end{align*}\]

(2) 已知 \( 6\overline{xyzabc}=7\overline{abcxyz} \) ，则 \( \overline{xyzabc}=\text{_________} \). （上海交通大学2004年保送生考试）

gxqcn

关于(1)，由递减数字的构成正整数不多，很容易通过枚举完成（还有，指数p应设定大于1，否则全部符合要求）；

关于(2)：
令 \( A=\overline{xyz},\>B=\overline{abc} \)，则 \( 6(1000A+B)=7(1000B+A)\iff 13\*461A=2\*13\*269B\iff 461A=538B \)
因 \( A,B \) 皆为三位数，故 \( A=538,B=461 \)，应填写的答案即为： \( 538461 \)

hujunhua

第2题作为填空题不需要像郭老板这样老老实实地列方程推算，直接检查6/13的循环节即得。

gxqcn

上面的方法很妙，需要有一定的敏感性；但有时又恐有遗漏。
另，分母 \( 13 \) 可是由系数 \( 6+7 \) 而来？

hujunhua

一般来说，这样的循环数皆有\(x+a=y+b=z+c=9\), 所以两边加上\(6\overline{abcxyz}\)可得\(6\cdot999999=13\overline{abcxyz}\)

manthanein

我就想问一句：第一题有解吗？