正项幂级数的正导出幂级数

Buffalo

已知正项幂级数$f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n t^n$在$t\in [0,T]$上收敛，证明或否定：$\sum_{n=0}^{\infty}a_n (\frac{a_n}{a_{n+1}}-\frac{a_{n-1}}{a_n}) t^n$在$t\in [0,T]$上收敛且不小于零。这里为了方便规定$a_{-1}=0$。

Lwins_G

\[ \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}a_n (\frac{a_n}{a_{n+1}}-\frac{a_{n-1}}{a_n}) t^n &=& \sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{a_n^2}{a_{n+1}}t^n-a_n t^{n+1} \right) \\
&=& \sum_{n=-1}^{\infty}\left( \frac{a_n^2}{a_{n+1}}t^n-2a_n t^{n+1} + a_{n+1}t^{n+2}\right) \\
&=& \sum_{n=-1}^{\infty} \frac{(a_n-a_{n+1}t)^2}{a_{n+1}}t^n.
\end{eqnarray*}
\]

Buffalo

Lwins_G 发表于 2014-3-31 17:20
\[ \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}a_n (\frac{a_n}{a_{n+1}}-\frac{a_{n-1}}{a_n}) t^n &=& \sum_{ ...

好。正定性有了，收敛性好像本来就有点问题，不过这不是重点。

kastin

关于收敛性，这里没有进一步的讨论吗？

这种类型的问题还真没见过，通常都是关于数项级数的收敛性问题，这里却掺杂了自变量。若有人能给出解决这类问题的巧妙的方法，或是一般方法就好了。

mathe

取T=1，只要构造收敛正项级数使得a_n^2/a_{n+1}发散即可。很简单，对任意收敛正项级数，每项拆成两项，前一个远大于后一个即可