输赢的概率和为1吗？

yyy_fcz

甲有3个球，乙有2个球。二人抛硬币，正面，乙给一个球给甲；反面的话，甲给一个球给乙。一个人没球时，游戏停止，并判对方赢。问双方赢的概率各有多少？感觉甲肯定赢面大，但算不出来。还感觉甲的输赢概率和不为1。特求教各位！

wayne

\(s_0=(0,0,1,0,0,0)^T,\quad A=
\begin{pmatrix}
1 & \frac12 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac12 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac12 & 0 & \frac12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac12 & 0 & \frac12 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac12 & 1 \\
\end{pmatrix},\quad s_n= A^{n-1}\cdot s_0\)

经过 \(n\) 次角逐，
甲赢的概率是 \( X_n =\frac{1}{5} 4^{-n-1} \left(\left(\sqrt{5}-1\right) \left(-1-\sqrt{5}\right)^n+3\ 4^{n+1}-\left(1+\sqrt{5}\right) \left(\sqrt{5}-1\right)^n+\left(3 \sqrt{5}-5\right) \left(1-\sqrt{5}\right)^n-\left(5+3 \sqrt{5}\right) \left(1+\sqrt{5}\right)^n\right)\), \[ \lim_{n\to \infty }X_n =\frac{3}{5}\]
乙赢的概率是 \(Y_n =\frac{1}{5} 4^{-n-1} \left(-\left(\sqrt{5}-1\right) \left(-1-\sqrt{5}\right)^n+2^{2 n+3}+\left(1+\sqrt{5}\right) \left(\sqrt{5}-1\right)^n+\left(3 \sqrt{5}-5\right) \left(1-\sqrt{5}\right)^n-\left(5+3 \sqrt{5}\right) \left(1+\sqrt{5}\right)^n\right)\),  \[ \lim_{n\to \infty }Y_n =\frac{2}{5}\]
\[X_n+Y_n =1-\frac{F_{n+2}}{2^n}, F_n \text{表示第} n \text{个 Fibonacci 数}\]

BeerRabbit

简单的双吸收壁有限Markov随机过程问题。

yyy_fcz

wayne 发表于 2014-5-8 23:27
\(s_0=(0,0,1,0,0,0)^T,\quad A=
\begin{pmatrix}
1 & \frac12 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

谢谢，虽然还是看不明白解题的思路。再查查资料区。

mathe

我们只要考虑总共5个球，甲k个球，甲赢球的概率$p_k$，于是$p_0=0,p_5=1,p_i={p_{i-1}+p_{i+1}}/2$就可以得到$p_k=k/5$

yyy_fcz

pi=（pi−1+pi+1）/2是怎么得到的呢？