一个关于自然数的问题。

hzl076

设n为大于1的整数数，\(a_i, b_i\)均为自然数，并且
\(\left\{\begin{split}&(a_1+1)\cdots(a_n+1)=(b_1+1)\cdots(b_n+1)\\&(a_1(a_1+1)+\cdots+a_n(a_n+1)=b_1(b_1+1)+\cdots+b_n(b_n+1)\end{split}\right.\)
若\(\{b_i\}\) 是\(\{a_i\}\) 的一个置换，显然满足上面两个等式，但除此之外还有其他的解吗？
换言之，如果令\(\{b_i\}\)和\(\{a_i\}\) 都是递增自然数序列，两者可以不同吗？





,

hujunhua

将主帖中的每个自然数以加上1的值来替代，可以将约束式化简为
\(\left\{\begin{split}&a_1\cdots a_n=b_1\cdots b_n\\&a_1(a_1-1)+\cdots+a_n(a_n-1)=b_1(b_1-1)+\cdots+b_n(b_n-1)\end{split}\right.\)

容易知道n=2时，无不同。但是对于较大的n,  应该可以有所不同。

hzl076

hujunhua 发表于 2014-5-17 20:13
将主帖中的每个自然数以加上1的值来替代，可以将约束式化简为
\(\left\{\begin{split}&a_1\cdots a_n=b_1\ ...

n=2能给个证明思路吗？
当n较大时，能给一个例子吗？一个就行

hzl076

n=2成立的证明我已经知道了。
但是，对更大n的反例还不知道。

manthanein

http://math.stackexchange.com/qu ... redirect=1&lq=1
有一点用处

manthanein

楼主还在吗？
反例有了
（4,5,15,18）
（3,9,10,20）
它们的和都是42
它们的积都是5400
它们的平方和都是590

这样就可以构造出一个反例

不得不说，这个论坛里的人有点懒啊，不如stackexchange勤快

manthanein

把楼主的问题改成：和、积、平方和对应相等的数组。可以有（最左边表示和、积、平方和）：
(48, 7200, 842): (4, 5, 15, 24), (3, 8, 12, 25)
(48, 12600, 710): (6, 7, 15, 20), (5, 10, 12, 21)
(52, 3300, 1122): (2, 3, 22, 25), (1, 10, 11, 30)
(54, 15400, 958): (5, 7, 20, 22), (4, 11, 14, 25)
(55, 6720, 1209): (3, 4, 20, 28), (2, 7, 16, 30)
(55, 20160, 941): (6, 8, 20, 21), (5, 12, 14, 24)
(56, 8580, 1194): (3, 5, 22, 26), (2, 11, 13, 30)
(56, 12600, 1118): (4, 6, 21, 25), (3, 10, 15, 28)
(60, 4104, 1670): (2, 3, 19, 36), (1, 9, 12, 38)
(60, 7560, 1574): (3, 4, 18, 35), (2, 7, 15, 36)
(60, 9900, 1418): (3, 5, 22, 30), (2, 10, 15, 33)
(60, 13464, 1430): (4, 6, 17, 33), (3, 11, 12, 34)
(60, 22680, 1214): (6, 7, 20, 27), (5, 9, 18, 28)
(60, 29484, 1130): (7, 9, 18, 26), (6, 13, 14, 27)
(60, 33264, 1070): (8, 9, 21, 22), (7, 11, 18, 24)
(60, 41580, 986): (10, 11, 18, 21), (9, 14, 15, 22)

(30, 1260, 314): (3, 3, 10, 14), (2, 6, 7, 15)
(35, 2880, 401): (4, 4, 12, 15), (3, 6, 10, 16)
(36, 924, 570): (2, 2, 11, 21), (1, 6, 7, 22)
(36, 4200, 390): (5, 5, 12, 14), (4, 7, 10, 15)
(40, 2520, 614): (3, 3, 14, 20), (2, 5, 12, 21)
(42, 1300, 802): (2, 2, 13, 25), (1, 5, 10, 26)

manthanein

(43, 5400, 591): (1, 4, 5, 15, 18), (1, 3, 9, 10, 20)
(44, 10800, 594): (2, 4, 5, 15, 18), (2, 3, 9, 10, 20)
(44, 15120, 570): (3, 4, 5, 14, 18), (2, 6, 7, 9, 20) *
(46, 4224, 766): (1, 3, 4, 16, 22), (1, 2, 8, 11, 24)
(46, 8064, 726): (2, 3, 4, 16, 21), (1, 6, 7, 8, 24) *
(46, 8640, 642): (1, 5, 6, 16, 18), (1, 4, 9, 12, 20)
(47, 17280, 645): (2, 5, 6, 16, 18), (2, 4, 9, 12, 20)

manthanein

(30, 3600, 234): (3, 3, 4, 10, 10), (2, 5, 5, 6, 12) *
(31, 1260, 315): (1, 3, 3, 10, 14), (1, 2, 6, 7, 15)
(32, 2520, 318): (2, 3, 3, 10, 14), (2, 2, 6, 7, 15)
(33, 3780, 323): (3, 3, 3, 10, 14), (2, 3, 6, 7, 15)
(34, 5040, 330): (3, 3, 4, 10, 14), (2, 4, 6, 7, 15)
(35, 6300, 339): (3, 3, 5, 10, 14), (2, 5, 6, 7, 15)
(36, 2880, 402): (1, 4, 4, 12, 15), (1, 3, 6, 10, 16)
(36, 7560, 350): (3, 3, 6, 10, 14), (2, 6, 6, 7, 15)
(37, 924, 571): (1, 2, 2, 11, 21), (1, 1, 6, 7, 22)

manthanein

里面可以筛选出几个反例