判断一个无穷多项的求和式子是否收敛

KeyTo9_Fans

令函数 \(\def\Ln{\textrm{Ln}} \Ln(x)\) 的取值如下：

如果 \(x \gt e\)，那么 \(\Ln(x)=\ln(x)\)，
　　　　　　 否则 \(\Ln(x)=1\)。

然后对于 \(i=0,1,2,\dots,\ \Ln^{(i)}(x)\)的含义如下：

如果 \(i=0\)，那么 \(\Ln^{(i)}(x)=x\)，
　　　　　　否则 \(\Ln^{(i)}(x)=\Ln\left(\Ln^{(i-1)}(x)\right)\)。

定义函数 \(f(n)=\prod_{i=0}^\infty\Ln^{(i)}(n)\)，

问 \(\D\sum_{n=1}^\infty\frac 1{f(n)}\) 是发散的，还是收敛的？如果收敛，它的值是多少？

Lwins_G

好问题。
我想这个问题的背景应该是：
\[ \sum \frac{1}{n},\ \sum \frac{1}{n \ln n},\ \sum \frac{1}{n \ln n \ln \ln n},\ \dots\]
皆发散。

mathe

转化为积分收敛问题即可，应该不难

Lwins_G

\[ \begin{eqnarray*} \int_1^{\infty}\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t &=& \sum_{n=0}^{\infty} \int_{^ne}^{^{n+1}e}\prod_{j=0}^n \frac{1}{\ln^{(j)} t}\mathrm{d}t  \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty} \left( \ln^{(n+1)} {^{n+1}}e - \ln^{(n+1)}{^n}e  \right) \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}1.\end{eqnarray*} \]

KeyTo9_Fans

根据积分的结果，我们有一个意外的发现：

$ln^{**}(n)$的导数是$1/f(n)$。

$f(n)$的定义参见$1$楼。

$ln^{**}(n)$的定义如下：

$ln^{**}(1)=0$，$ln^{**}(n)=ln^{**}(ln(n))+1$。

例如：

$ln^{**}(e)=1$，
$ln^{**}(e^e)=2$，
$ln^{**}(e^{e^e})=3$，
$ln^{**}(e^{e^{e^e}})=4$，
……

mathe

5楼的定义是不完整的，如同仅用阶乘是无法定义gamma函数的

mathe

所以应该是利用1/f(n)的积分可以定义这个函数