解析函数唯一性定理之疑问

zuijianqiugen

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（一）定理之内容：
        设函数f(z)和g(z)在区域D内解析，D的内点列{z_n}(n=1、2、……)有一极限点z₀属于D。如果f(z_n)=g(z_n)(n=1、2、……)，那么在D内，f(z)≡g(z)


（二）定理之疑问：能否举例验证这个定理？

kastin

注意，是在D内才有f(z)≡g(z)

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-29 11:15
注意，是在D内才有f(z)≡g(z)

能否举例说明？

kastin

这是因为，不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
令h(z)=f(z)-g(z), 在D内有一点列{zn}(n=1、2、……)收敛于z0(z0≠0)
根据已知条件f(zn)=g(zn)(n=1、2、……)，即h(zn)=0恒成立
由于h(z)解析，所以h(z)连续，两边对n取极限，得h(z0)=0，故z0为一个非孤立的零点。

考虑到不恒为零的解析函数的零点必是孤立的，所以h(z)在D内恒为零。

解析函数的唯一性定理，说明了解析函数在区域内的部分点上的值确定了它在区域内的一切值。这揭示了解析函数的一个非常深刻的本质，即解析函数在局部与整体上的值之间有着十分紧密的内在联系。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2014-5-29 14:42
这是因为，不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
令h(z)=f(z)-g(z), 在D内有一点列{zn}(n=1、2、……)收 ...

可证明，该定理的条件是不充分的。假设f(z_n)=g(z_n)=A(常数)，再设一个新函数h(z)=[g(z)-A]u(z)+A，其中u(z)在区域D内解析。很明显，f(z)和h(z)满足该定理的条件，但结论不成立。