a^2+ab+b^2=c^2的整数解

wayne

http://bbs.emath.ac.cn/thread-2281-1-1.html

northwolves

对于$m=(2k+1)/(k^2+k+1)$的情况，可得到：

$(m,n)=((2k+1)/(k^2+k+1),(k^2-1)/(k^2+k+1))$

$(a,b,c)=(2k+1,k^2-1,k^2+k+1)$，k为任意实数

所以求整数解可令 $k=p/q$
$(a,b,c)=(q^2+2pq,p^2-q^2,p^2+pq+q^2)$

cn8888

在c的可能解答中
{403, 403, 409, 421, 427, 427, 433, 439, 457, 463, 469, 469, 481, \
481, 487, 499, 511, 511, 523, 541, 547, 553, 553, 559, 559, 571, 577, \
589, 589, 601, 607, 613, 619, 631, 637, 637, 643, 661, 673, 679, 679, \
691, 703, 703, 709, 721, 721, 727, 733, 739, 751, 757, 763, 763, 769, \
787, 793, 793}
不是素数的
{403, 403, 427, 427, 469, 469, 481, 481, 511, 511, 553, 553, 559, \
559, 589, 589, 637, 637, 679, 679, 703, 703, 721, 721, 763, 763, 793, \
793}
都是两组解答,

cn8888

把方程换一下如何:
\[0 < a < b,c > 0,k > 2\]
\[{a^2} + ab + {b^2} = {c^k}\]
求它的整数解答!

cn8888

在c的可能解答中,
{811, 817, 817, 823, 829, 853, 859, 871, 871, 877, 883, 889, 889, \
907, 919, 931, 931, 937, 949, 949, 961, 967, 973, 973, 991, 997, \
1009, 1021, 1027, 1027, 1033, 1039, 1051, 1057, 1057, 1063, 1069, \
1087, 1093, 1099, 1099, 1117, 1123, 1129, 1141, 1141, 1147, 1147, \
1153, 1159, 1159, 1171, 1183, 1183}
下面是非素数
{817, 817, 871, 871, 889, 889, 931, 931, 949, 949, 961, 973, 973, \
1027, 1027, 1057, 1057, 1099, 1099, 1141, 1141, 1147, 1147, 1159, \
1159, 1183, 1183}
其中961是完全平方数,别的都是两组解答

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wayne 发表于 2014-7-1 18:40
http://bbs.emath.ac.cn/thread-2281-1-1.html

正是当年的这个帖子，让我学习到了不少的数论知识。

我们可以先来反思勾股定理通解怎么推导：
$$(a^2+b^2)^2=|a+bi|^4=|a^2-b^2+2abi|^2=(a^2-b^2)+(2ab)^2$$
利用复数一气呵成！

同样，我们知道
$$|a+b\omega|^2=a^2+ab+b^2$$
这里的
$$\omega=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\quad \omega^2-\omega+1=0$$

我们计算
$$\begin{aligned}(a+b\omega)^2=&a^2+b^2\omega^2+2ab\omega\\
=&a^2-b^2(-\omega+1)+2ab\omega\\
=&a^2-b^2+(2ab+b^2)\omega
\end{aligned}$$

所以
$$\begin{aligned}&(a^2+ab+b^2)^2\\
=&|a+b\omega|^4\\
=&|a^2-b^2+(2ab+b^2)\omega|^2\\
=&(a^2-b^2)+(2ab+b^2)^2+(2ab+b^2)(a^2-b^2)\end{aligned}$$

补充内容 (2014-7-2 11:40):
更正：
$$\begin{aligned}&(a^2+ab+b^2)^2\\
=&|a+b\omega|^4\\
=&|a^2-b^2+(2ab+b^2)\omega|^2\\
=&(a^2-b^2)^2+(2ab+b^2)^2+(2ab+b^2)(a^2-b^2)\end{aligned}$$

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cn8888 发表于 2014-7-1 18:56
把方程换一下如何:
\[0 < a < b,c > 0,k > 2\]
\[{a^2} + ab + {b^2} = {c^k}\]

这样可以同样地解决：
$$(a^2+ab+b^2)^k=|a+b\omega|^{2k}=|(a+b\omega)^k|^2=|c+d\omega|^2=c^2+cd+d^2$$

其中
$$c+d\omega=(a+b\omega)^k$$