关于倒代换的一些想法

kastin

一般涉及到极限或者定积分时，若极限过程或者积分限中含有无穷大的时候，我们通常喜欢用倒代换来替换无穷大的极限过程，即$$x\to\oo \sim x=\frac{1}{t} \quad(t\to0)$$其实上面的方法在一般情况下会出问题，因为这两个极限过程的变化速度的阶是不一样的。

考虑调和级数部分和$$H_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}$$我们知道$$\lim_{n\to \oo}(H_n-\ln n)=\gamma \quad(欧拉常数)$$
而根据http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html，$$\lim_{s\to 1}(\zeta(s)-\frac{1}{s-1})=\gamma$$并且根据定义$$\zeta(1)=\lim_{n\to \oo}H_n$$故$$\lim_{s\to 1}\frac{1}{s-1}-\lim_{n\to \oo}\ln n=0$$这就意味着`\D\frac{1}{x}\;(x \to 0)`，和`\ln x\;(x\to \oo)`互为同阶无穷大。在替换的时候，如果其他项不是更大阶的主要项，那么可以使用这两者相互替换。

dianyancao

最后一句应该是：
\(\frac{1}{x}\space\space(x\to0)\)和\(\ln t\space\space(t\to\infty)\)
当\(t=e^{\frac{c}{x}}\space\space (c \in \text{Constant})\)时，两者才是同阶的
若用\(t=\frac{1}{x}\)倒代换，只要将所有的\(x\)替换为\(\frac{1}{t}\)，那么极限值不变