虫妈妈的毛毯

zhouguang · 发表于 2014-8-1 12:36:14

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Q0：虫宝宝是一条长度为1的柔性线段，虫妈妈想要织一条毛毯，无论宝宝怎么躺着，都能够完全盖住它。
为了省料，毛毯面积越小越好，问这个最小面积能达到多少？
抽象成数学模型，就是要求一个面积最小的平面区域Ω，长度为1的任意形状的曲线段都在Ω上画得出来。

可以想一些更简单的问题：
Q1：对于最简单的情况，即虫二舅的三角被问题。
虫二舅的身体没有虫宝宝那么柔软，可怜的他老到只能绕身体的中点弯折，他身体的前后两段已经成了长度为1/2的僵直线段。
他要一个三角形的被子来盖着他的身体（被子可以翻过来盖），那么这个三角被可以做到多小，什么形状？

hujunhua · 发表于 2014-8-3 18:07:03

虫二舅的毛毯如果限于三角形的话，应该是边长为1的正三角形的一半吧（沿一条高对分）。

倪举鹏 · 发表于 2014-8-3 19:56:46

一个边长为1 的正三角形的1/3能够满足要求。从中心向两个顶点划线切割。

倪举鹏 · 发表于 2014-8-7 14:44:29

似乎在一个菱形范围内长对角线1，大角120度

KeyTo9_Fans · 发表于 2014-8-7 22:47:09

参见：
http://tieba.baidu.com/f?kz=193972532

$S=\frac{\sqrt{3}}{12}+\frac{\pi}{24}=0.27523726119698115939656400276214$

是目前得到的最优的可行解。

估计上面的圆弧还能继续削减一小部分，使得面积更小。

mathe · 发表于 2019-2-18 08:17:41

https://link.springer.com/article/10.1007/s00454-002-0774-3

mathe · 发表于 2019-2-20 08:04:32

链接里面使用了一个凹图形，将上界改进到0.260437

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倪举鹏 · 发表于 2019-2-20 09:38:01

可以想一下在空间的情况，需要最小多大的体才能装下任何长为1的空间曲线

倪举鹏 · 发表于 2019-2-20 11:04:05

还可以这样：这个虫子首尾相连，变成边界长为1的面，需要至少多大面积的图形覆盖所有周长为1的图形

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[讨论] 虫妈妈的毛毯

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虫二舅的三角毯

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