复合随机变量的分布及参数估计

kastin

假设有已知一维分布的随机变量 `X_i \sim F(x;\theta) \;(i=1,2,\cdots ,N)`，而 `N \sim G(x;\beta)`。其中 `F(\cdot)` 和 `G(\cdot)` 为累计分布函数（CDF）， `\theta,\beta` 为参数。
如果一个新的随机变量 $$Y=\sum_{i=1}^N X_i\tag{1}$$问：
1. 在已知参数值的情况下，1) 若已知随机变量 `X_i` 两两之间的协方差矩阵（或相关系数矩阵）；2) 若随机变量 `X_i` 是独立同分布的(i.i.d.)，求 `Y` 的概率密度函数(PDF).
2. 已知随机变量 `Y` 的 `n` 个样本 `y_1,y_2,\cdots,y_n`，求参数 `\theta,\beta` 的估计.

问题背景

最近在处理一个 单变量跳扩散(Jump-Diffusion)随机微分方程模型的参数估计问题$$\dif S(t)=a(b-S(t))\dif t+\sqrt{\small S(t)}\sigma \dif W(t)+\dif Y(t) $$其中，`W(t)` 是标准的维纳随机过程；`Y(t)` 是跳跃项（去掉跳跃微分项后便是经济学中著名的 CIR 随机微分方程模型）。待估参数是 `a,b,\sigma` 以及 `Y(t)` 中涉及到的相关参数。

`Y(t)` 的形式是什么？它被定义为一个复合的随机过程。即在式 `(1)` 中，将求和上限 `N` 换成一个随机过程 `N(t)`，比如泊松随机过程：$$ p (N(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}\mathrm e^{\lambda t}$$`X` 仍为服从已知分布 `F(x;\theta)` 的随机变量。这样，`Y(t)` 的参数就是是 `N(t)`以及 `X` 中的参数 `\lambda,\theta`。

参数估计考虑使用极大似然估计(MLE)方法，但是这个跳跃项是离散求和的形式，它的微分 `\D \dif \sum_{i=1}^{N(t)} X_i` 难以写成 Ito 随机微分形式，所以得不到跳跃微分项的PDF，因而似然函数（即`S_{t_i}`的联合概率密度分布函数）就不容易写出表达式。

本文开头的问题便是上面的问题的简化情形（定常情形，即不考虑时间变化）。若将其实例化，我们可以考虑选择 `F(x;\theta)` 是参数为 `\theta` 的指数分布，`G(x;\beta)` 是参数为 `\beta` 的泊松分布。那么问题1和2如何解决呢？

BeerRabbit

对问题背景内容了解不多，仅考虑初始的简化问题。
若干个独立同分布随机变量之和的分布规律，理论上是通过卷积进行计算的，而且不容易得出一个“好看”的结果。