求A^2+B^2=C(A^b B^2 C^2+1)的有理数解

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如题，求\[A^2+B^2=C(A^2 B^2 C^2+1)\]的有理数解。其中\(C \ne 1\)。最好能够给出得到一族解的表达式（不需要通解）

如果\(A\)、\(B\)是整数，那么\(C\)似乎不大可能是整数。因此，才说要求有理数解的。或者等价地，可以求\[(\lambda^2 A^2+\rho^2 B^2)AB=C(\lambda^2 C^2+\rho^2)\]的整数解，其中\(AB\ne C\)。

如果我没记错的话，存在\(A=1\)的整数解，也就是说，可以求\[(\lambda^2 +\rho^2 B^2)B=C(\lambda^2 C^2+\rho^2)\]\(B\ne C\)的整数解。

xiaoshuchong

似乎C只能是平方数（猜测）

应该用椭圆曲线来解决这个问题
C = 4时，有这么几个较小的例子
\[\begin{eqnarray*}
A,B,C&=&\left[\frac{7}{64},\frac{33}{8},4\right]\\&&\left[\frac{16}{7},\frac{2}{33},4\right]\\&&\left[\frac{36977}{557176},\frac{69745}{29568},4\right]\\&&\left[\frac{2077375783}{310650001216},\frac{160418074113}{80094623992},4\right]
\end{eqnarray*}\]
对应于椭圆曲线$y^{2}=x^{3}+x^{2}-23040x-1089612$

c=36的例子
\[\begin{eqnarray*}
A,B,C&=&\left[\frac{17721343971216}{1316705454271},\frac{440806872522}{106369102918441},36\right]\\&&\left[\frac{1316705454271}{637968382963776},\frac{106369102918441}{15869047410792},36\right]
\end{eqnarray*}\]
对应曲线$y^{2}=x^{3}-x^{2}-940377807360x-350984000736230400$