堆垒素数论中的一个引理

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堆垒素数论中，引理1.1，说的是
$$f(x)=a_k x^k+...+a_0$$
是一个整系数多项式。$p$是一个素数
那么
$$\left|\sum_{x=1}^{p^n}e^{2\pi i f(x)/p^n}\right|\leq C(k) p^{n(1-1/k)}$$
$C(k)$是一个与$p$无关的常数。华罗庚不加证明就给出了，似乎很显然，但我怎么觉得不显然呀。求证~~

kastin

不等式左边有 拉马努金和(Ramanujan's sum) 的类似形式，而任何算术函数都能表成拉马努金和的无穷收敛级数形式（参见Ramanujan expansions）。奇怪的是，这里的整系数多项式的系数没有任何限制吗，那么 `f(x)` 与 `p^n`的整除关系是又如何的呢？

记得曾经在一个关于数论还是代数的ppt上看到一个定理，其内容是给出了一个恒等式，关于1楼结论中左端这种形式的，不过一下子记不起来其全部内容了。

kastin

由于周期性，不等式估计可以写为$$\left|\sum_{x=1}^{p^n}\exp(\frac{2m(x)\pi i}{p^n})\right|\leq C(k) p^{n(1-1/k)}\tag{1}$$其中 `f(x)=m(x)\pmod{p^n},x=1,2,...,p^n`

相当于要找到左边的上限估计即可。

左边求和符号内部其实是 `w^{p^n}=1` 的单位根。如果 `x` 遍历 `p^n` 的完全剩余系时，考察`m(x)`的分布，即 `f(x)` 模质数幂 `p^n` 的结果。这个结果随着多项式系数 `a_j(j=1,2,\cdots k)` 变化而变化。也就是说，需要估计这些部分 `p^n` 次单位根之和的模的上限。由于单位根在复平面上分布于单位圆内接正 `p^n` 边形的顶点，所以等价为估计从原点发射到正多边形部分顶点的矢径和的模长上限。

kastin

这里有类似的信息
https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_Gauss_sum