高斯级数估值

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$$\sum_{n=0}^{\infty} e^{-a n^2}$$
其中$a>0$，能否给出一条渐近公式？

很奇怪的是，如果代入欧拉-麦克劳林求和公式
http://mathworld.wolfram.com/Eul ... rationFormulas.html
得到的只有两项！即
$$\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{2}$$
但这显然不是精确结果。怎能进一步逼近呢？

kastin

利用特殊幂级数（这是EllipticTheta函数在参数取特殊值的情形）中的结论，这里直接给出逼近结果$$\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-a n^2}=\sum_{n=0}^{\infty} (\mathrm{e}^{-a})^{ n^2}\sim \frac{1}{\sqrt{1-\mathrm e^{-a}}}+\frac{\mathrm e ^{-a}}{2}-\frac{3\mathrm e^{-2a}}{8} \quad(a>0)$$比如取 `a=3`，比较结果（均保留6位有效数字）
精确值 `\D \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-3 n^2} \approx 1.04979`
积分逼近 `\D\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2} \approx 1.01166`
函数逼近 `\D\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm e^{-3}}}+\frac{1}{2\mathrm e ^3}-\frac{3}{8\mathrm e^6} \approx 1.04983`

当然，链接中的结论可以继续改善（加入更多修正项）。不过由于楼主问题的特殊性（只涉及自然对数底数的幂），个人感觉可以不必应用“特殊幂级数"这种一般情形的结论到本问题上，而是找出一条路径利用自然对数底数的特性，或许能得出更好的逼近。

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kastin 发表于 2014-11-25 13:21
利用特殊幂级数（这是EllipticTheta函数在参数取特殊值的情形）中的结论，这里直接给出逼近结果$$\sum_{n=0 ...

我正想要这答案，可以多给我一些特殊幂级数的资料么？

顺便说，$a$是复数的时候，可以有类似结论？

kastin

刚刚检验过了，直接用原级数计算，效果更好。其实这也比较好解释，毕竟函数逼近不是收敛级数的一部分，因为其误差只是要求有界而非减小。想要得到好的近似有两种方案，一是将原级数通过某种代换（根据 `a` 的取值区间有关），得到一个新的收敛速度更快的级数，然后取前几项即可；二是摄动法，这必须给定 `a` 的值，选择一个合适的小量（`a` 的某种表达式）来进行渐进级数展开，在 `a` 给定值附近，级数收敛速度非常快。

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kastin 发表于 2014-11-26 10:33
刚刚检验过了，直接用原级数计算，效果更好。其实这也比较好解释，毕竟函数逼近不是收敛级数的一部分，因为 ...

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-an^2}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}+\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-\pi^2 n^2/a}$$
不考虑计算的复杂性，那么$a<\pi$时，右端收敛更快（Poisson求和公式）。尤其是$a<1$时，右边以$e^{-pi^2/a}$为底！$e^{-\pi^2}=0.00005...$！