有理数域上的不可约多项式

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$f(x)$是一个给定的有理系数多项式，能否证明总存在有理数$q$，使得$f(x)+q$在有理数域上不可约？

mathe

可改为证明整系数多项式必然有无穷个整数q满足条件

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mathe 发表于 2014-12-28 13:00
可改为证明整系数多项式必然有无穷个整数q满足条件

等价的。但是怎么证明呢？

mathe

对于整系数多项式f(x),定义$M_h=max{|f(x)|  | x \in Z, |x|<=h}$我们知道存在C使得$|M_h<=C*h^n|$,n是多项式次数
现在我们对于给定的h,选择P远远大于$M_h$
于是我们查看$f(x)+p$中素数或负素数的数目,其中$|x|<=h,|p|<=P$
由于对于固定的整数x,我们知道$f(x)+p$在p取遍$-P<=p<=P$时至少完整覆盖整数区间$[-P+M_h,P-M_h]$
所以其中覆盖素数或负素数数目不少于$2\pi(P-M_h)$
于是所有$f(x)+p$中至少有$4h\pi(P-M_h)$个取值为素数，所以至少有一个p使得其中素数取值不少于$\frac{2h\pi(P-M_h)}{P}$
现在取$P=2M_h$上面值化为$\frac{h\pi(M_h)}{M_h}~=\frac{h}{log(M_h)}~=\frac{h}{n\log(h)+log(C)}$,
于是我们可以证明存在p使得$f(x)+p$取值为素数的情况充分多。此后就好办了。