矩阵多项式的可解性

shower · 发表于 2015-1-18 17:06:48

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shower · 发表于 2015-1-18 17:09:28

这是第一问，大家看看有没有问题

shower · 发表于 2015-1-18 17:14:41

第二问，mod p的多项式可能不存在分解，第一问的方法失效
逆向考虑的时候，我不清楚mod p意义下矩阵的相似标准型，也不知道怎么入手
我发现mod p意义下矩阵有不存在特征值的情况，相似到上三角形也是不行的
然后，我似乎就没有什么头绪了

mathe · 发表于 2015-1-18 21:06:40

其实两道题目有统一解法，将对应多项式在域里面分解，如果有因式次数不高于n就有解，不然无解

mathe · 发表于 2015-1-18 21:08:21

模素数p也构成域，所以也有特征值和jordon标准形的概念

mathe · 发表于 2015-1-18 21:24:25

提示，有一个特殊矩阵最后一行为c_0,c_1,…,然后主对角线上面一格全为1，其余位置都是0

shower · 发表于 2015-1-19 16:59:31

mathe 发表于 2015-1-18 21:24
提示，有一个特殊矩阵最后一行为c_0,c_1,…,然后主对角线上面一格全为1，其余位置都是0

你的意思是对对应的k次多项式，它的k*k伴随矩阵以该多项式为零化多项式
故n=k时有解，进一步推出n>k时有解我还是不太明白
比如方程x^2+1=0，次数为2
矩阵方程X^2+I=0,X为3*3时
3>2，有解？
X为3*3，必有实特征值，推出x^2+1=0有实根，矛盾

还是我理解错了额

不过至少n取对应多项式因式次数时是有解的了

觉得我学得好死啊，就没想到这上面来

mathe · 发表于 2015-1-20 21:18:46

你说的没错，我考虑的不全面。如果这样，第二问的结论就有点复杂了。当可以分解为多个不同次数的因子式，比如次数为k1,k2,…,k_t只有要n=u_1k_1+u_2k_2+…+u_tk_t其中u_i为非负整数

shower · 发表于 2015-1-21 17:36:47

mathe 发表于 2015-1-20 21:18
你说的没错，我考虑的不全面。如果这样，第二问的结论就有点复杂了。当可以分解为多个不同次数的因子式，比 ...

我把过程写了一下，但是对于矩阵在Fp上还是不太有底，帮我看看有没有错好吗，谢啦

shower · 发表于 2015-1-22 16:56:19

这题还有第3问，不过感觉要得到一般性的答案似乎很困难了
大家看看吧

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