非线性常微方程的奇点的计算

wayne

非线性这词囊括的太广泛，我只关注有理形式的非线性，即$ F(x,y(x),y'(x),y''(x),.....)$ 是有理多项式。

然而有理形式的ODE绝大部分也还是没法给出解析解的。
那退而求其次，轻装上阵，分析其奇点的存在性，奇点的性质，甚至高精度的计算出值来，应该有更直接的解决办法的吧。
这里有两个例子：

比如 这个方程 \( y'(x) =y(x)^2 +x^2  ,y(0)=0\),有无数个奇点
比如，最近mathe整出来的一个微分方程，\( xy'(x) =(x-y(x))(y(x)^2 +1)  ,y(0)=0\)， 应该至少有1个奇点。

wayne

我能想到的方法就是 舍弃相对 无穷小的项，

比如 \( xy'(x) =(x-y(x))(y(x)^2 +1)  ,y(0)=0\) ，
\(\frac{y'(x)}{y(x)^2+1} =1-\frac{y(x)}{x} \approx - \frac{y(x)}{x} \)
解得\( (C^2 -x^2)y(x)^2 +C^2  \to 0\)
得到这个表达式 也只是 知道 奇点处的 大致 约束关系

mathe

$y'(x)=y^2+x^2$
设$y(x)=x^3h(x^4)$,代入得到
$3x^2h(x^4)+4x^6h'(x^4)=x^6h^2(x^4)+x^2$
即$3h(x^4)+4x^4h'(x^4)=x^4h^2(x^4)+1$
于是$3h(t)+t(h'(t)-h^2(t))-1=0$
然后分析h的奇点更加好，其每个奇点对应y的四个奇点
而h在$t=0$的泰勒展开可以假设为$h(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nt^n$
于是$a_0=1/3,a_1=1/36,a_n=\frac{b_{n-1}}{n+3} (n>=1)$,其中$b_n=\sum_{k=0}^na_ka_{n-k}$

wayne

mathe 发表于 2015-2-1 19:12
$y'(x)=y^2+x^2$
设$y(x)=x^3h(x^4)$,代入得到
$3x^2h(x^4)+4x^6h'(x^4)=x^6h^2(x^4)+x^2$

感觉可以设 y(x) 的泰勒展开直接计算、

wayne

嗯，泰勒展开计算出来了，那接下来 怎么计算奇点呢

wayne

方程 \( y'(x) =y(x)^2 +x^2  ,y(0)=0\)的解是 \(y(x) = -\frac{x^2 \left(-J_{\frac{3}{4}}\left(\frac{x^2}{2}\right)\right)+x^2 J_{-\frac{5}{4}}\left(\frac{x^2}{2}\right)+J_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{x^2}{2}\right)}{2 x J_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{x^2}{2}\right)}\)

Mathematica有个函数BesselJZero，专门计算贝塞尔函数的零点（我举出这个例子，是方便验证其他奇点计算方法的。）

1. In[9]:= N[Sqrt[2BesselJZero[-(1/4),#]&/@Range[10]],100]

复制代码

Out[9]= {
2.003147359426884708004610979054299223810144817228996156504928625207348022440989590209319760871077412,
3.200956964017586082874635650302928872219623359347832300087961073639655098962207741392754331808870145,
4.063976175038897744315551786134891845358361772440358956476256594626219346857132227522326714910177327,
4.774194737751404407677015487341973259969513667489008951943825664567511471297798674937063691622787259,
5.391901312957769529388166801548911002823366285617809629276409539922007113792553534536344367338288280,
5.945881530411889734037068636446672142182613259743503430918157640604925047368502274805203676577843620,
6.452526547366072796868574201427226272373682795399210045261686411458003863420481443272748840534787611,
6.922218357619974396232385237847773160532674012221468199367303334961067040084617950125336849366669044,
7.362023317995928197983773640181367092290225113144795700299170366172073158576260380199363446993825392,
7.777008120376468527912793543138225964480781249373500608206201039901754843067120067486984979684305596
}