数学年谱

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转自 东陆论坛：http://www.channelwest.com/bbs/s ... _ID=6920&Forum_ID=7 数学年谱 公元前 约公元前4000年，中国西安半坡的陶器上出现数字刻符。 　　公元前3000～前1700年，巴比伦的泥版上出现数学记载。 　　公元前2700年，中国黄帝时代传说隶首做算数之说，大挠发明了甲子。 　　公元前2500年前，据中国战国时尸佼著《尸子》记载：“古者，陲(注：传说为黄帝或尧时人)为规、矩、准、绳，使天下仿焉”。这相当于在已有“圆，方、平、直”等形的概念。 　　公元前2100年，中国夏朝出现象征吉祥的河图洛书纵横图，即为“九宫算”，这被认为是现代“组合数学”最古老的发现。 　　美索不达米亚人已有了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。 　　公元前1900～前1600，古埃及的纸草书上出现数学记载，已有基于十进制的记数法，将乘法简化为加法的算术、分数计算法。并已有三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积的度量法等。 　　公元前1950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道“勾股定理”。 　　公元前1400年，中国殷代甲骨文卜辞记录已有十进制记数，最大数字是三万。 　　公元前1050年，在中国的西周时期，“九数”成为“国子”的必修课程之一。 　　公元前六世纪，古希腊的泰勒斯发展了初等几何学，开始证明几何命题。 　　古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。证明了勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。 　　印度人求出=1.4142156。 　　公元前462年左右，意大利的埃利亚学派的芝诺等人指出了在运动和变化中的各种矛盾，提出了飞矢不动等有关时间、空间和数的芝诺悖理(古希腊 巴门尼德、芝诺等)。 　　公元前五世纪，古希腊丘斯的希波克拉底研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比。开始把几何命题按科学方式排列。 　　公元前四世纪，古希腊的欧多克斯把比例论推广到不可通约量上，发现了“穷竭法”。开始在数学上作出以公理为依据的演绎整理。 　　古希腊德谟克利特学派用“原子法”计算面积和体积，一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的“原子”所组成。提出圆锥曲线，得到了三次方程式的最古老的解法。 　　古希腊的亚里士多德等建立了亚里士多德学派，开始对数学、动物学等进行了综合的研究。 　　公元前400年，中国战国时期的《墨经》中记载了一些几何学的义理。 　　公元前380年，古希腊柏拉图学派指出数学对训练思维的作用，研究正多面体、不可公度量。 　　公元前350年，古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线，并用以解立方体问题。古希腊色诺科拉底开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始世界简单方程组 　　公元前335年，古希腊的欧德姆斯开始编写数学史。 　　公元前三世纪，古希腊欧几里得的《几何学原本》十三卷发表，把前人和他本人的发现系统化，确立几何学的逻辑体系，为世界上最早的公理化数学著作。 　　公元前三世纪，古希腊的阿基米德研究了曲线图形和曲面体所围成的面积、体积；研究了抛物面、双曲面、椭圆面，讨论了圆柱、圆锥和半球之关系，还研究了螺线。 　　战国时期的中国，筹算成为当时的主要计算方法；出现《庄子》、《考工记》记载中的极限概念、分数运算法、特殊角度概念及对策论的例证。 　　公元前230年，古希腊的埃拉托色尼提出素数概念，并发明了寻找素数的筛法。 　　公元前三至前二世纪，古希腊的阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是最早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。 　　公元前170年，湖北出现竹简算书《算数书》。 　　公元前150年，古希腊的希帕恰斯开始研究球面三角，奠定三角术的基础。 　　约公元前一世纪，中国的《周髀算经》发表。其中阐述了“盖天说”和四分历法，使用分数算法和开方法等。 　 公元元年　～　公元１０００年 　　公元50～100年，继西汉张苍、耿寿昌删补校订之后，东汉时纂编成《九章算术》，这是中国最早的数学专著，收集了246个问题的解法。 　　公元75年，古希腊的海伦研究面积、体积计算方法、开方法，提出海伦公式。 　　一世纪左右，古希腊的梅内劳发表《球学》，其中包括球的几何学，并附有球面三角形的讨论。 　　古希腊的希隆写了关于几何学的、计算的和力学科目的百科全书。在其中的《度量论》中，以几何形式推算出三角形面积的“希隆公式”。 　　100年左右，古希腊的尼寇马克写了《算术引论》一书，此后算术开始成为独立学科。 　　150年左右，古希腊的托勒密著《数学汇编》，求出圆周率为3.14166，并提出透视投影法与球面上经纬度的讨论，这是古代坐标的示例。 　　三世纪时，古希腊的丢番都写成代数著作《算术》共十三卷，其中六卷保留至今，解出了许多定和不定方程式。 　　三世纪至四世纪，魏晋时期，中国的赵爽在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边之间关系的命题共21条。 　　中国的刘徽发明“割圆术”，并算得圆周率为3.1416；著《海岛算经》，论述了有关测量和计算海岛的距离、高度的方法。 　　四世纪时，古希腊帕普斯的几何学著作《数学集成》问世，这是古希腊数学研究的手册。 　　约463年，中国的祖冲之算出了圆周率的近似值到第七位小数，这比西方早了一千多年。 　　466年～485年，中国三国时期的《张邱建算经》成书。 　　五世纪，印度的阿耶波多著书研究数学和天文学，其中讨论了一次不定方程式的解法、度量术和三角学等，并作正弦表。 　　550年，中国南北朝的甄鸾撰《五草算经》、《五经算经》、《算术记遗》。 　　六世纪，中国六朝时，中国的祖(日恒)提出祖氏定律：若二立体等高处的截面积相等，则二者体积相等。西方直到十七世纪才发现同一定律，称为卡瓦列利原理。 　　隋代《皇极历法》内，已用“内插法”来计算日、月的正确位置(中国 刘焯)。 　　620年，中国唐朝的王孝通著《辑古算经》，解决了大规模土方工程中提出的三次方程求正根的问题。 　　628年，印度的婆罗摩笈多研究了定方程和不定方程、四边形、圆周率、梯形和序列。给出了方程ax+by=c(a，b，c是整数)的第一个一般解。 　　656年，中国唐代李淳风等奉旨著《“十部算经”注释》，作为国子监算学馆的课本。“十部算经”指：《周髀》《九章算术》《海岛算经》《张邱建算经》《五经算术》等。 　　727年，中国唐朝开元年间，僧一行编成《大衍历》，建立了不等距的内插公式。 　　820年，阿拉伯的阿尔·花刺子模发表了《印度计数算法》，使西欧熟悉了十进位制。 　　850年，印度的摩珂毗罗提出岭的运算法则。 　　约920年，阿拉伯的阿尔·巴塔尼提出正切和余切概念，造出从0º到90º的余切表，用sine标记正弦，证明了正弦定理。 　 公元１０００年　～　１７００年 　　1000～1019年，中国北宋的刘益著《议古根源》，提出了“正负开方术”。 　　1050年，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。 　　1086～1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。 　　1079年，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》，用圆锥曲线解三次方程。 　　十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。 　　十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。 　　十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。 　　1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。 　　1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。 　　1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。 　　1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。 　　1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。 　　1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。 　　1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等)。 　　十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘，并逐渐代替了筹算。 　　1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。 　　1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。 　　1489年，德国的魏德曼用“+”、“-”表示正负。 　　1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。 　　1514年，荷兰的贺伊克用“+”、“-”作为加减运算的符号。 　　1535年，意大利的塔塔利亚发现三次方程的解法。 　　1540年，英国的雷科德用“=”表示相等。 　　1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。 　　1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。 　　1585年，荷兰的斯蒂文提出分数指数概念与符号；系统导入了十进制分数与十进制小数的意义、计算法及表示法。 　　1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。 　　1596年，德国的雷蒂卡斯从直角三角形的边角关系上定义了6个三角函数。 　　1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。 　　1614年，英国的耐普尔制定了对数，做出第一张对数表，只做出圆形计算尺、计算棒。 　　1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。 　　1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。 　　1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。 　　1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。 　　意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。 　　1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。 　　1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。 　　1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。 　　1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。 　　1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。 　　1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。 　　1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。 　　1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。 　　1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。 　　1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。 　　1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。 　　1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。 　　1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。 　　1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。 　　1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。 　　1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。 　 公元１７０１　～　１８００年 　　1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。 　　1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。 　　1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。 　　1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。 　　1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。 　　1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。 　　1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。 　　1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。 　　1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。 　　1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。 　　1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。 　　1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。 　　1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。 　　1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。 　　1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。 　　1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。 　　1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。 　　1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。 　　1788年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。 　　1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。 　　德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表。 　　1797年，法国的拉格朗日发表《解析函数论》，不用极限的概念而用代数方法建立微分学。 　　1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。 　　德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。 　 公元１８００　～　１８９９年 　　1801年，德国的高斯出版《算术研究》，开创近代数论。 　　1809年，法国的蒙日出版了微分几何学的第一本书《分析在几何学上的应用》。 　　1812年，法国的拉普拉斯出版《分析概率论》一书，这是近代概率论的先驱。 　　1816年，德国的高斯发现非欧几何，但未发表。 　　1821年，法国的柯西出版《分析教程》，用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分，研究了无穷级数的收敛性等。 　　1822年，法国的彭色列系统研究了几何图形在投影变换下的不变性质，建立了射影几何学。 　　法国的傅立叶研究了热传导问题，发明用傅立叶级数求解偏微分方程的边值问题，在理论和应用上都有重大影响。 　　1824年，挪威的阿贝尔证明用根式求解五次方程的不可能性。 　　1826年，挪威的阿贝尔发现连续函数的级数之和并非连续函数。 　　俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的波约改变欧几里得几何学中的平行公理，提出非欧几何学的理论。 　　1827～1829年，德国的雅可比、挪威的阿贝尔和法国的勒阿德尔共同确立了椭圆积分与椭圆函数的理论，在物理、力学中都有应用。 　　1827年，德国的高斯建立了微分几何中关于曲面的系统理论。 　　德国的莫比乌斯出版《重心演算》，第一次引进齐次坐标。 　　1830年，捷克的波尔查诺给出一个连续而没有导数的所谓“病态”函数的例子。 　　法国的伽罗华在代数方程可否用根式求解的研究中建立群论。 　　1831年，法国的柯西发现解析函数的幂级数收敛定理。 　　德国的高斯建立了复数的代数学，用平面上的点来表示复数，破除了复数的神秘性。 　　1835年，法国的斯特姆提出确定代数方程式实根位置的方法。 　　1836年，法国的柯西证明解析系数微分方程解的存在性。 　　瑞士的史坦纳证明具有已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形一定是圆。 　　1837年，德国的狄利克莱第一次给出了三角级数的一个收敛性定理。 　　1840年，德国的狄利克莱把解析函数用于数论，并且引入了“狄利克莱”级数。 　　1841年，德国的雅可比建立了行列式的系统理论。 　　1844年，德国的格拉斯曼研究多个变元的代数系统，首次提出多维空间的概念。 　　1846年，德国的雅克比提出求实对称矩阵特征值的雅可比方法。 　　1847年，英国的布尔创立了布尔代数，在后来的电子计算机设计有重要应用。 　　1848年，德国的库莫尔研究各种数域中的因子分解问题，引进了理想数。 　　英国的斯托克斯发现函数极限的一个重要概念——一致收敛，但未能严格表述。 　　1850年，德国的黎曼给出了“黎曼积分”的定义，提出函数可积的概念。 　　1851年，德国的黎曼提出共形映照的原理，在力学、工程技术中应用颇多，但未给出证明。 　　1854年，德国的黎曼建立了更广泛的一类非欧几何学——黎曼几何学，并提出多维拓扑流形的概念。 　　俄国的车比雪夫开始建立函数逼近论，利用初等函数来逼近复杂的函数。二十世纪以来，由于电子计算机的应用，使函数逼近论有很大的发展。 　　1856年，德国的维尔斯特拉斯确立极限理论中的一致收敛性的概念。 　　1857年，德国的黎曼详细地讨论了黎曼面，把多值函数看成黎曼面上的单值函数。 　　1868年，德国的普吕克在解析几何中引进一些新的概念，提出可以用直线、平面等作为基本的空间元素。 　　1870年，挪威的李发现李群，并用以讨论微分方程的求积问题。 　　德国的克朗尼格给出了群论的公理结构，这是后来研究抽象群的出发点。 　　1872年，数学分析的“算术化”，即以有理数的集合来定义实数(德国 戴特金、康托尔、维尔斯特拉斯)。 　　德国的克莱茵发表了“埃尔朗根纲领”，把每一种几何学都看成是一种特殊变换群的不变量论。 　　1873年，法国的埃尔米特证明了e是超越数。 　　1876年，德国的维尔斯特拉斯出版《解析函数论》，把复变函数论建立在了幂级数的基础上。 　　1881～1884年，美国的吉布斯制定了向量分析。 　　1881～1886年，法国的彭加勒连续发表《微分方程所确定的积分曲线》的论文，开创微分方程定性理论。 　　1882年，德国的林德曼证明了圆周率是超越数。 　　英国的亥维赛制定运算微积，这是求解某些微分方程的简便方法，工程上常有应用。 　　1883年，德国的康托尔建立了集合论，发展了超穷基数的理论。 　　1884年，德国的弗莱格出版《数论的基础》，这是数理逻辑中量词理论的发端。 　　1887～1896年，德国的达布尔出版了四卷《曲面的一般理论的讲义》，总结了一个世纪来关于曲线和曲面的微分几何学的成就。 　　1892年，俄国的李雅普诺夫建立运动稳定性理论，这是微分方程定性理论研究的重要方面。 　　1892～1899年，法国的彭加勒创立自守函数论。 　　1895年，法国的彭加勒提出同调的概念，开创代数拓扑学。 　　1899年，德国希尔伯特的《几何学基础》出版，提出欧几里得几何学的严格公理系统，对数学的公理化思潮有很大影响。 　　瑞利等人最早提出基于统计概念的计算方法——蒙特卡诺方法的思想。二十世纪二十年代柯朗(德)、冯·诺伊曼(美)等人发展了这个方法，后在电子计算机上获得广泛应用。 　 公元１９００年 ～ １９６０年 　　１９００年 　　德国数学家希尔伯特，提出数学尚未解决的23个问题，引起了20世纪许多数学家的关注。 　　１９０１年 　　德国数学家希尔伯特，严格证明了狄利克莱原理，开创了变分学的直接方法，在工程技术的级拴问题中有很多应用。 　　德国数学家舒尔、弗洛伯纽斯，首先提出群的表示理论。此后，各种群的表示理论得到大量研究。 　　意大利数学家里齐、齐维塔，基本上完成张量分析，又名绝对微分学。确立了研究黎曼几何和相对论的分析工具。 　　法国数学家勒贝格，提出勒贝格测度和勒贝格积分，推广了长度、面积积分的概念。 　　１９０３年 　　英国数学家贝·罗素，发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。 　　瑞典数学家弗列特荷姆，建立线性积分方程的基本理论，是解决数学物理问题的数学工具，并为建立泛函分析作出了准备。 　　１９０６年 　　意大利数学家赛维里，总结了古典代数几何学的研究。 　　法国数学家弗勒锡、匈牙利数学家里斯，把由函数组成的无限集合作为研究对象，引入函数空间的概念，并开始形成希尔伯特空间。这是泛函分析的发源。 　　德国数学家哈尔托格斯，开始系统研究多个自变量的复变函数理论。 　　俄国数学家马尔可夫，首次提出“马尔可夫链”的数学模型。 　　１９０７年 　　德国数学家寇贝，证明复变函数论的一个基本原理——黎曼共形映照定理。 　　美籍荷兰数学家布劳威尔，反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学。 　　１９０８年 　　德国数学家金弗里斯，建立点集拓扑学。 　　德国数学家策麦罗，提出集合论的公理化系统。 　　１９０９年 　　德国数学家希尔伯特，解决了数论中著名的华林问题。 　　１９１０年 　　德国数学家施坦尼茨，总结了19世纪末20世纪初的各种代数系统，如群、代数、域等的研究，开创了现代抽象代数。 　　美籍荷兰数学家路·布劳威尔，发现不动点原理，后来又发现了维数定理、单纯形逼近法、使代数拓扑成为系统理论。 　　英国数学家背·罗素、卡·施瓦兹西德，出版《数学原理》三卷，企图把数学归纳到形式逻辑中去，是现代逻辑主义的代表著作。 　　１９１３年 　　法国的厄·加当和德国的韦耳完成了半单纯李代数有限维表示理论，奠定了李群表示理论的基础。这在量子力学和基本粒子理论中有重要应用。 　　德国的韦耳研究黎曼面，初步产生了复流形的概念。 　　１９１４年 　　德国的豪斯道夫提出拓扑空间的公理系统，为一般拓扑学建立了基础。 　　１９１５年 　　瑞士美籍德国人爱因斯坦和德国的卡·施瓦茨西德把黎曼几何用于广义相对论，解出球对称的场方程，从而可以计算水星近日点的移动等问题。 　　１９１８年 　　英国的哈台、立笃武特应用复变函数论方法来研究数论，建立解析数论。 　　丹麦的爱尔兰为改进自动电话交换台的设计，提出排队论的数学理论。 　　希尔伯特空间理论的形成(匈牙利 里斯)。 　　１９１９年 　　德国的亨赛尔建立P-adic数论，这在代数数论和代数几何中有重要用。 　　１９２２年 　　德国的希尔伯特提出数学要彻底形式化的主张，创立数学基础中的形式主义体系和证明论。 　　１９２３年 　　法国的厄·加当提出一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何学观点统一起来，是纤维丛概念的发端。 　　法国的阿达玛提出偏微分方程适定性，解决二阶双曲型方程的柯西问题()。 　　波兰的巴拿哈提出更广泛的一类函数空间——巴拿哈空间的理论()。 　　美国的诺·维纳提出无限维空间的一种测度——维纳测度，这对概率论和泛函分析有一定作用。 　　１９２５年 　　丹麦的哈·波尔创立概周期函数。 　　英国的费希尔以生物、医学试验为背景，开创了“试验设计”(数理统计的一个分支)，也确立了统计推断的基本方法。 　　１９２６年 　　德国的纳脱大体上完成对近世代数有重大影响的理想理论。 　　１９２７年 　　美国的毕尔霍夫建立动力系统的系统理论，这是微分方程定性理论的一个重要方面。 　　１９２８年 　　美籍德国人 理·柯朗提出解偏微分方程的差分方法。 　　美国的哈特莱首次提出通信中的信息量概念。 　　德国的格罗许、芬兰的阿尔福斯、苏联的拉甫连捷夫提出拟似共形映照理论，这在工程技术上有一定应用。 　　１９３０年 　　美国的毕尔霍夫建立格论，这是代数学的重要分支，对射影几何、点集论及泛函分析都有应用。 　　美籍匈牙利人冯·诺伊曼提出自伴算子谱分析理论并应用于量子力学。 　　１９３１年 　　瑞士的德拉姆发现多维流形上的微分型和流形的上同调性质的关系，给拓扑学以分析工具。 　　奥地利的哥德尔证明了公理化数学体系的不完备性。 　　苏联的柯尔莫哥洛夫和美国的费勒发展了马尔可夫过程理论。 　　１９３２年 　　法国的亨·嘉当解决多元复变函数论的一些基本问题。 　　美国的毕尔霍夫、美籍匈牙利人冯·诺伊曼建立各态历经的数学理论。 　　法国的赫尔勃兰特、奥地利的哥德尔、美国的克林建立递归函数理论，这是数理逻辑的一个分支，在自动机和算法语言中有重要应用。 　　１９３３年 　　匈牙利的奥·哈尔提出拓扑群的不变测度概念。 　　苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系。 　　美国的诺·维纳、丕莱制订复平面上的傅立叶变式理论。 　　１９３４年 　　美国的莫尔斯创建大范围变分学的理论，为微分几何和微分拓扑提供了有效工具。 　　美国的道格拉斯等解决极小曲面的基本问题——普拉多问题，即求通过给定边界而面积为最小的曲面。 　　苏联的辛钦提出平稳过程理论。 　　１９３５年 　　波兰的霍勒维奇等在拓扑学中引入同伦群，成为代数拓扑和微分拓扑的重要工具。 　　法国的龚贝尔开始研究产品使用寿命和可靠性的数学理论。 　　１９３６年 　　德国寇尼克系统地提出与研究图的理论，美国的贝尔治等对图的理论有很大的发展。50年代以后，由于在博弈论、规划论、信息论等方面的发展，而得到广泛应用。 　　现代的代数几何学开始形成。(荷兰 范德凡尔登，法国外耳，美国查里斯基，意大利 培·塞格勒等) 　　英国的图灵、美国的邱吉、克林等提出理想的通用计算机概念，同时建立了算法理论。 　　美籍匈牙利人 冯·诺伊曼建立算子环论，可以表达量子场论数学理论中的一些概念。 　　苏联的索波列夫提出偏微分方程中的泛函分析方法。 　　１９３７年 　　美国的怀特尼证明微分流形的嵌入定理，这是微分拓扑学的创始。 　　苏联的彼得洛夫斯基提出偏微分方程组的分类法，得出某些基本性质。 　　瑞士的克拉默开始系统研究随机过程的统计理论。 　　１９３８年 　　布尔巴基丛书《数学原本》开始出版，企图从数学公理结构出发，以非常抽象的方式叙述全部现代数学(法国 布尔巴基学派)。 　　１９４０年 　　美国的哥德尔证明连续统假说在集合论公理系中的无矛盾性。 　　英国的绍司威尔提出求数值解的松弛方法。 　　苏联的盖尔方特提出交换群调和分析的理论。 　　１９４１年 　　美国的霍奇定义了流形上的调和积分，并用于代数流形，成为研究流形同调性质的分析工具。 　　苏联的谢·伯恩斯坦、日本的伊藤清开始建立马尔可夫过程与随机微分方程的联系。 　　苏联的盖尔芳特创立赋范环理论，主要用于群上调和分析和算子环论。 　　１９４２年 　　美国的诺·维纳、苏联的柯尔莫哥洛夫开始研究随机过程的预测，滤过理论及其在火炮自动控制上的应用，由此产生了“统计动力学’。 　　１９４３年 　　中国的林士谔提出求代数方程数字解的林士谔方法。 　　１９４４年 　　美籍匈牙利人冯·诺伊曼等建立了对策论，即博弈论。 　　１９４５年 　　法国的许瓦茨推广了古典函数概念，创立广义函数论，对微分方程理论和泛函分析有重要作用。 　　美籍华人陈省身建立代数拓扑和微分几何的联系，推进了整体几何学的发展。 　　１９４６年 　　美国莫尔电子工程学校和宾夕法尼亚大学试制成功第一台电子计算机ENIAC。(设计者为埃克特、莫希莱等人)。 　　法国的外耳建立现代代数几何学基础。 　　中国的华罗庚发展了三角和法研究解析数论。 　　苏联的盖尔芳特、诺依玛克建立罗伦兹群的表示理论。 　　１９４７年 　　美国的埃·瓦尔特创立统计的序贯分析法。 　　１９４８年 　　英国的阿希贝造出稳态机，能在各种变化的外界条件下自行组织，以达到稳定状态。鼓吹这是人造大脑的最初雏型、机器能超过人等观点。 　　美国的诺·维纳出版《控制论》，首次使用控制论一词 　　美国的申农提出通信的数学理论。 　　美籍德国人弗里得里希斯、理·柯朗总结了非线性微分方程在流体力学方面的应用，推进了这方面的研究。 　　波兰的爱伦伯克、美国的桑·麦克伦提出范畴论，这是代数中一种抽象的理论，企图将数学统—于某些原理。 　　苏联的康脱洛维奇将泛函分析用于计算数学。 　　１９４９年 　　开始确立电子管计算机体系，通称第一代计算机。英国剑桥大学制成第一台通用电子管计算机EDSAC。 　　１９５０年 　　英国的图灵发表《计算机和智力》一文，提出机器能思维的观点。 　　美国的埃·瓦尔特提出统计决策函数的理论。 　　英国的大·杨提出解椭圆型方程的超松弛方法，这是目前电子计算机上常用的方法。 　　美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论。 　　１９５１年 　　五十年代以来，“组合数学”获得迅速发展，并应用于试验设计、规划理论、网络理论、信息编码等。(美国 霍夫曼，马·霍尔等) 　　１９５２年 　　美国的蒙哥马利等证明连续群的解析性定理(即希尔伯特第五问题)。 　　１９５３年 　　美国的基费等提出优选法，并先后发展了多种求函数极值的方法。 　　１９５５年 　　制定同调代数理论(法国 亨·加当、格洛辛狄克，波兰 爱伦伯克)。 　　美国的隆姆贝格提出求数值积分的隆姆贝方法，这是目前电子计算机上常用的一种方法。 　　瑞典的荷尔蒙特等制定线性偏微分算子的一般理论。 　　美国的拉斯福特等提出解椭圆形或双线型偏微分方程的交替方向法。 　　英国的罗思解决了代数数的有理迫近问题。 　　１９５６年 　　提出统筹方法(又名计划评审法)，是一种安排计划和组织生产的数学方法。美国杜邦公司首先采用。 　　英国的邓济希等提出线性规划的单纯形方法。 　　苏联的道洛尼钦提出解双曲型和混合型方程的积分关系法。 　　１９５７年 　　发现最优控制的变分原理(苏联 庞特里雅金)。 　　美国的贝尔曼创立动态规划理论，它是使整个生产过程达到预期最佳目的的一种数学方法。 　　美国的罗森伯拉特等以美国康纳尔实验室的“感知器”的研究为代表，开始迅速发展图象识别理论。 　　１９５８年 　　创立算法语言ALGOL(58)，后经改进又提出ALGOL(60)，ALGOL(68)等算法语言，用于电子计算机程序自动化。(欧洲GAMM小组，美国ACM小组) 　　中国科学院计算技术研究所试制成功中国第一台通用电子计算机。 　　１９５９年 　　美国国际商业机器公司制成第一台晶体管计算机“IBM 7090”，第二代计算机——半导体晶体管计算机开始迅速发展。 　　1959～1960年，伽罗华域论在编码问题上的应用，发明 BCH码。(法国 霍昆亥姆，美国 儿·玻色，印度 雷·可都利) 　　１９６０年 　　美国的卡尔门提出数字滤波理论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。 　　苏联的克雷因、美国的顿弗特建立非自共轭算子的系统理论。

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数学也叫巴比伦 数学也被叫做巴比伦 　　数字记录的最早物证，是在南部非洲斯威士兰王国出土的一块刻有29道清晰的V字形刻痕的狒狒的腓骨。这一记录的年代大约是公元前35000年，它与纳米比亚现今仍在用于记录时间变迁的“日历棒”类似。而最令人感兴趣的一个发现是所谓的“伊尚戈骨”，发现于乌干达与扎伊尔间的爱德华湖边，年代大约是公元前20000年。它不单单是记账棒，显微镜分析显示出似乎是与月相相关的痕迹。也许出自宗教的需要，预报满月、记录月亮的轨迹，是新石器人非常关心的事情。实际上数学始终贯穿于天文学、占星术和宇宙学，对它的发展影响最大的可能就是天体。 　　人类最早的数学资料主要来源于远古的巴比伦帝国（公元前1900年——前1600年），所以数学也经常被叫做巴比伦。现在使用的十进制数字体系是一种以10为基的位－值体系。换句话说，在某个位的10个单位等价于相邻高位的一个单位。而一个数中，数字的位置决定它的值。最早的文字记载显示巴比伦人使用的是以60为基的六十进制数字体系。六十进制迄今为止仍用于计时。使用六十进制，巴比伦人把75表示成“1，15”，这和我们把75分钟写成1小时15分钟是一样的。大约公元前2000年出现了一种仅使用两个楔形符号的以60为基的位－值体系，在该体系中，“T”形的楔形文字表示1，“〈”形的楔形文字表示10。这一数字体系被进一步推广到六十进制分数的表示上，但是没有表示0的符号。尽管如此，它对计算是非常有效的。同时，它奠定了时间的计量标准。 　　巴比伦数学的物证是一块带有楔形符号的土碑（泥土板）。这种土碑是用粘土制成的，它们成千上万地被保存下来。粘土是随处可取的，而且只要它还潮湿就可以擦掉以开始新的计算。巴比伦人所进行的算术计算与我们今天做的很类似，他们给我们留下了各种精密复杂的运算表，如倒数表、平方表、立方表及高次幂表。他们的高次幂表对借贷利息的计算很有用。巴比伦人对代数也非常精通，他们利用本质上等同于我们的“出入相补原理”（填充正方形）的方法解开了二次方程式。 　　天体观察促进了数学 　　早期数学大部分是由于贸易及农业的需要而发展起来的，但也与宗教仪式及天体运行有关联。历法的设计基本上是天文学家和牧师的工作，而绘制天体图则要求特殊的数学。由于多数的古代宇宙论是以地球为中心的，在地球各地，各个不同的文明社会记录天体运动并设计制定出历法，都需要寻找一种方法来协调两个最重要的时间周期：朔望月和回归年。 　　中美洲的玛雅文明可以追溯到公元前1000年，它只有极少数的文献保存了下来，但幸运的是玛雅人给我们留下了雕刻。每20年玛雅人就竖起一些石碑或石柱，记录20年来的建设的数据、重要的事件及贵族和牧师的名字。对于数字他们经常使用一种现在被叫做“点和线”的记号，一个点表示“1”，而一条竖线代表“5”；同时还有一个表示“0”的符号，它看起来像一个贝壳。 　　埃及的历法使用了与玛雅同样的方案，它有12个每月30天的月，并有年末的额外5天。正是埃及人首先把1天分成24个单位，虽然我们不清楚从何时起小时成为固定的时间单位。他们用的是可以叫做“季节性”的小时，把白昼和夜晚各分成12个单位，各单位根据白天和黑夜在一年中的变迁而变化。 　　来自尼西亚（在今天的土耳其）的数学家喜帕恰斯（公元前190年－前120年）被认为是当时最伟大的天文学家，创立了基于希腊几何学原理的天文学。他把圆分成360度，每一度又细分成60分，以此作为三角学的基础。居住于亚历山大的克劳迪亚斯·托勒密（约公元85年－约165年）继承了喜帕恰斯学说，他于公元127年3月26日开始进行天文观测，留下的文稿中最著名的是《数学论集》。约在公元820年，《数学论集》被翻译成阿拉伯语；当它被译成拉丁语后，文稿的名字改为《天文学大成》。《天文学大成》从三角学和弦的预备知识开始，然后是关于太阳运行的详细理论。他为太阳指定了一个圆形轨道，把地球放在稍微偏轨道圆心的位置，他把这一位置叫做偏心。但是，地球绕着太阳运转与当时对地球动力学的理解相矛盾：人们仍然相信我们会从运动着的球体表面飞出去。托勒密的模型被理解为是计算模型而非实际模型。他以《天文学大成》确立了权威的地位。 　　出自中国的算经 　　公元前400年到公元前200年间，是中华大地的战国时代。一本纯数学教科书《周髀算经》就是这个时期的产物。而下一部重要的数学著作是出现于隋唐时代七世纪的《九章算术》。这时一场教育改革使得数学成为翰林院的正式科目，当时使用的教科书是《算经十书》，该书汇集了包括《周髀算经》和《九章算术》在内的所有重要著作，直到很多世纪后该书仍有着深远的影响。 　　在中国数学史上，《九章算术》一直保持着重要的地位。《九章算术》包括246个问题，每个问题由陈述、数值答案及解题方法三个部分组成。这里没有理论解释和证明，大部分问题来自于现实生活。例如，土地分割、财物分配、大型建筑物的营作等。在当时，计算主要是通过在筹算盘上放置算筹来进行，有时筹算盘是一种带格子的板。计算过程中主要是排列算筹，这样的做法使我们可以在中断的地方继续进行计算。计算结果是用十进制位－值体系来表示的，而数字的表示则使用了另外一种体系：每根竖着的算筹表示1，每根横着的算筹表示5。在有些资料中显示算筹的方向是可变的，但5和1总是互相垂直，这样无疑有助于使计算形象化和提高计算速度。中国人把用特殊符号表示数字5的方法延用到算盘上。同巴比伦人一样，中国人似乎没有表示0的符号。在排列算筹时，零出现的位置应该留出一个空格，但是在写答案时似乎并没有留出空格。所以我们只有通过前后关系判断正确答案，例如：是18、108还是1800。公元8世纪前后，在一本印度著作的翻译本中出现了用点表示数字0的方式。圆形的零出现于很久以后的13世纪，同时出现了一个适用于算筹组合的“方形”零。《九章算术》还包含了多元一次方程式组的求解问题。 　　文艺复兴时的数学 　　意大利文艺复兴，被称为新一代欧洲人的觉醒时期。新一代欧洲人对古典文化的研究不仅仅是为了复古，而是希望把这一研究与新体系、新思想和新研究方向结合起来。艺术和几何的结合，特别是透视法的使用，充分体现了这一点。透视法使观赏者的视点在油画的创作中得以体现。透视法对建筑学也极为重要。而最早讨论如何在油画中应用透视法的专著是皮埃罗·德拉·弗朗西斯卡写的《绘画透视学》。弗朗西斯卡就读于一所应用数学学校，由于生意的需要他完全有理由成为一个数学家，但是他决定给一位画家当学徒。他熟练掌握了数学和绘画两项技能，这使他成为能安然入座于数学和艺术两个编年史上的仅有的几个人之一。他在几何学中也有新的发现。人们认为皮埃罗重新发现了五个阿基米德立方体。之所以称为阿基米德立方体是因为公元四世纪亚历山大数学家帕普斯认为是阿基米德发现了这些多面体，扩充了由多个正多边形构成的面；而皮埃罗描述了他们的结构，并用透视法画出了它们的图形。 　　皮埃罗把透视法的规则看成是光学的一部分，而不仅仅把它看成是单纯的绘画技术。为了使画看起来更自然，关键是必须使画符合人类的视觉规律。因此，人眼是整个作品的核心。《绘画透视学》是按欧几里德的风格写成的，并参照《几何原理》的格式安排定理和证明。皮埃罗接着研究了从立方体到柱体，例如六棱柱等各种各样的柱体在投影时棱长的投影效果。后来，画家和建筑师以及剧院的布景师们对皮埃罗的研究成果做了详尽的论述并加以运用。 　　匈牙利人丢勒是另一个非凡的人物。他13岁时开始学习绘画和雕刻，1490年丢勒开始周游各地，逐渐完善基于数学的新的艺术思想。1523年，他完成了他的《比例论》，但因为书中的数学内容对读者过于深奥，所以丢勒又把它改写成浅显易懂的《测量论》，并于1525年出版。除了早期的贸易算术外，这是第一本用德语写成的数学书。这本书使丢勒成为文艺复兴时期最重要的一位数学家，这部著作的一个重要部分是关于立体图形的平面图和正视图的论述，这一数学分支现在称为画法几何。 　　世界地图的确认 　　不论是为了建筑、征税还是为了制定作战计划，都需要绘制地图，测量师的工作是与应用数学有关的最古老的职业之一。人们在巴比伦的粘土板、埃及的纸草书及中国的丝绸上发现了地图。 　　在绘制小区域的地图时，我们可以假设这一区域是平坦的。但当我们试图画更大区域地图时，地球的曲率就成了重要的考虑因素之一。公元前240年厄拉多塞作为亚历山大新城的图书馆馆长，制作了第一张以科学原理为依据的地图。该地图含有经线和纬线，经线和纬线构成了不规则的坐标方格。但是这种绘制地图的方法在当时并没有产生影响。正是托勒密于公元150年发表的《地理学》成为了制图学的标准教材。此书强调了地球是圆的，而且只有一部分地区有人居住。《地理学》的伟大贡献是奠定了把球面投影到平面的基础。 　　把地球投影到平面上往往要产生一些失真，绘图员最关心的是确定哪些因素使失真最厉害，哪些因素则失真得较少。等角投影可以减少角和形状上的失真，等面积投影可以保持相对的面积，等距离投影可以保持相对距离。陆地地图和海洋图有不同的要求。14世纪，随着欧洲航海和贸易的发展，出现了带有直线网络或罗盘方位线的航海指南图，以帮助航海家们制定航海计划。美洲大陆的发现及托勒密的《地理学》的出版，为绘制精确的世界地图作好了准备。 　　被誉为当代托勒密的英国地理学家杰拉德·墨卡托（1512年－1594年）为航海家设计了一套特别的投影法。墨卡托就学于洛文大学，学习哲学、数学、天文学和制图学，他还是雕刻师和器械制作师。从1530年起，他制作了一系列地图，包括了佛兰德地图和巴勒斯坦地图。1544年他因异端行为被投入监狱，之后他到了现在位于德国的克里夫公国杜伊斯堡，在那里创建了“墨卡托投影法”。该投影法的新颖之处是把经纬线画成直线，以便于航海家们使用。在一个球体上，如果一个人沿着一个固定的方向行驶，通常他的路径是一条曲线。事实上假设按着固定的方位行驶时，除非我们是沿着基本方位行驶，否则我们就会螺旋式地到达极点。但是将这些罗盘方位投影成直线可以减轻航海家的工作。

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十六、十七世纪数学 16、17世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速发展。 例如在航海方面，为了确定船只的位置，要求更加精密的天文观测。军事方面，弹道学成为研究的中心课题。准确时计的制造，运河的开凿，堤坝的修筑，行星的椭圆轨道理论等等，也都需要很多复杂的计算。古希腊以来的初等数学，已渐渐不能满足当时的需要了。 在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出新的课题。首先是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事，于是开始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，雷蒂库斯和他的助手勤奋工作达12年之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。 16世纪下半叶，丹麦天文学家第谷进行了大量精密的天文观测，在这个基础上，德国天文学家开普勒总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现。 开普勒的《酒桶的新立体几何》将酒桶看作由无数的圆薄片累积而成，从而求出其体积。这是积分学的前驱工作。 意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学)的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理”。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。“不可分”的思想萌芽于1620年，深受开普勒和伽利略的影响，是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。 16世纪的意大利，在代数方程论方面也取得了一系列的成就。塔塔利亚、卡尔达诺、费拉里、邦贝利等人相继发现和改进三次、四次方程的普遍解法，并第一次使用了虚数。 这是自希腊丢番图以来代数上的最大突破。法国的韦达集前人之大成，创设大量代数符号，用字母代表未知数，改良计算方法，使代数学大为改观。 在数字计算方面，斯蒂文系统地阐述和使用了小数，接着纳皮尔创制了对数，大大加快了计算速度。以后帕斯卡发明了加法机，莱布尼茨发明了乘法机，虽然未臻于实用，但开辟了机械计算的新途径。 17世纪初，初等数学的主要科目(算术、代数、几何、三角)已基本形成，但数学的发展正是方兴未艾，它以加速的步伐迈入数学史的下一个阶段：变量数学时期这一时期和前一时期(常称为初等数学时期)的区别在于前一时期主要是用静止的方法研究客观世界的个别要素，而这一时期是用运动的观点探索事物变化和发展的过程。 变量数学以解析几何的建立为起点，接着是微积分学的勃兴。这一时期还出现了概率论和射影几何等新的领域。但似乎都被微积分的强大光辉掩盖了。分析学以汹涌澎湃之势向前发展，到18世纪达到了空前灿烂的程度，其内容的丰富，应用之广泛，使人目不暇接。这一时期所建立的数学，大体上相当于现今大学一二年级的学习内容。为了与中学阶段的初等数学相区别有时也叫古典高等数学，这一时期也相应叫做古典高等数学时期。 解析几何的产生，一般以笛卡儿《几何学》的出版为标志。这本书的内容不仅仅是几何，也有很多代数的问题。它和现在的解析几何教科书有很大的差距，其中甚至看不到“笛卡儿坐标系”。但可贵的是它引入了革命性的思想，为开辟数学的新园地作出了贡献。 《几何学》的主要功绩，可以归结为三点：把过去对立着的两个研究对象“形”和“数”统一起来，引入了变量，用代数方法去解决古典的几何问题；最后抛弃了希腊人的齐性限制；改进了代数符号。 法国数学家费马也分享着解析几何创立的荣誉，他的发现在时间上可能早于笛卡儿，不过发表很晚。他是一个业余数学家，在数论、概率论、光学等方面均有重要贡献。他已得到微积分的要旨，曾提出求函数极大极小的方法。他建立了很多数论定理，其中“费马大定理”最有名，不过只是一个猜想，至今仍未得到证明。 对概率论的兴趣，本来是由保险事业的发展而产生的，但促使数学家去思考一些特殊的概率问题却来自赌博者的请求。费马、帕斯卡、惠更斯是概率论的早期创立者，以后经过18、19世纪拉普拉斯、泊松等人的研究，概率论成为应用广泛的庞大数学分支。 和解析几何同时，17世纪在几何领域内还发生了另一场重大的变革，这就是射影几何的建立。决定性的进步是德扎格和帕斯卡的工作。前者引入了无穷远点、无穷远线，讨论了极点与极线、透射、透视等问题，他所发现的“德扎格定理”是全部射影几何的基本定理。 帕斯卡1640年发表的《圆锥曲线论》，是自阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步。可是当时的数学家大多致力于分析学的研究，射影几何没有受到重视，直到18世纪末才重新引起人们的注意。 17世纪是一个创作丰富的时期，而最辉煌的成就是微积分的发明。它的出现是整个数学史也是整个人类历史的一件大事。它从生产技术和理论科学的需要中产生，同时又回过头来深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。微积分对于今天的科技工作者来说，已经象布帛菽粟一样，须臾不可离了。 微积分是经过了长时间的酝酿才产生的。积分的思想，早在阿基米德时代已经萌芽，16、17世纪之交，开普勒、卡瓦列里、费马、沃利斯特别是巴罗等人作了许多准备工作。作为微分学中心问题的切线问题的探讨，却是比较晚的事，因而微分学的起点远远落在积分学之后。 17世纪的著名数学家(主要是法国)如费马、笛卡儿、罗贝瓦尔、德扎格等人都曾卷入“切线问题”的论战中。笛卡儿和费马认为切线是当两个交点重合时的割线。而罗贝瓦尔则从运动的角度出发，将切线看作描画这曲线的运动在这点的方向，这观点至今在力学上还有实际意义。 牛顿、莱布尼茨的最大功劳是将两个貌似不相关的问题联系起来，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)，建立起两者之间的桥梁，用微积分基本定理或者“牛顿—莱布尼茨公式”表达出来。 在牛顿1665年5月20日(格里历31日)手写的一页文件中，有微积分的最早记载，但他的工作长久没有人知道，直到1687年才用几何的形式摘记在他的名著《自然哲学的数学原理》中。牛顿建立微积分主要从运动学的观点出发，而莱布尼茨则是从几何学的角度去考虑。特别和巴罗的“微分三角形”有密切关系。 莱布尼茨第一篇微分学的文章1684年在《学艺》上发表，第一篇积分学的文章1686年在同一杂志发表。他所创设的符号远优于牛顿，故为后世所沿用。它的理论很快就得到洛必达、伯努利家族和欧拉等人的继承和发扬光大，到18世纪进入了一个丰收的时期。 任何一项重大发明，都不可能一开始便完整无瑕。17世纪的微积分带有严重的逻辑困难，以致受到多方面的非议。它的基础是极限论，而牛顿、莱布尼茨的极限观念是十分模糊的。究竟极限是什么，无穷小是什么，这在当时是带有根本性质的难题。尽管如此，微积分在实践方面的胜利，足以令人信服。大多数数学家暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前地去开拓这个新的园地。 17世纪数学发展的特点，可以概括如下。产生了几个影响很大的新领域，如解析几何、微积分、概率论、射影几何等。每一个领域都使古希腊人的成就相形见绌。 代数化的趋势，希腊数学的主体是几何学，代数的问题往往也要用几何方法去论证。17世纪的代数学比几何学占有更重要的位置，它冲破希腊人的框框，进一步向符号代数转化，几何问题常常反过来用代数方法去解决。 出现了大量新概念，如无理数、虚数、瞬时变化率、导数、积分等等，都不是经验事实的直接反映，而是由数学理论进一步抽象所产生。 数学和其他自然科学的联系更加紧密，实验科学(从伽利略开始)的兴起，促进数学的发展，而数学的成果又渗透到其他科学部门中去。许多数学家，如牛顿、莱布尼茨、笛卡儿、费马等， 本身也都是天文学家、物理学家或哲学家。 数学知识广泛交流传播，希腊时代只有少数人在研究数学，直到16世纪，情况并无多大改变。17世纪研究人员大增，学术团体(学会或学院)相继成立，加上印刷业的兴旺发达，数学知识得到普遍的推广和应用。 总的来说，17世纪是许多新兴科目的始创阶段，而18世纪是充实和发扬阶段，19世纪是回顾、推广和改革阶段，并以崭新的姿态进入下一个世纪

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十九世纪的数学 十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。 十九世纪数学发展的概貌 十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。 然而，将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念，使当时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们觉得数学泉源已近枯竭。 而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。 十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。 英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。皮科克、格林、哈密顿、西尔维斯特、凯莱、布尔等英国数学界的杰出人物，在代数学、代数几何、数学物理方面的成就尤为突出。 德国在1870年统一之前，资本主义发展比较缓慢，但从十八世纪下半叶起，它一直是思想意识领域十分活跃的地区，特别是思辨哲学强调事物内部矛盾促进事物发展的思想，对纯粹数学的发展产生了有益的影响。 从高斯登上数学舞台至十九世纪下半叶，德国逐渐发展成为与法国并驾齐驱的又一个世界数学中心，除高斯外，施陶特、普吕克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、库默尔、魏尔斯特拉斯、克罗内克、黎曼、戴德金、康托尔、克莱因、希尔伯特都无愧为十九世纪最重要的数学家。 处于数学中心之外的国家和地区，也出现不少优秀学者，最突出的有挪威的阿贝尔和李，捷克的波尔查诺、俄国的罗巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡娅，匈牙利的波尔约，意大利的贝尔特拉米和里奇等。这种人才辈出的局面在数学史上是空前的。 十九世纪数学突破分析学独占主导地位的局面，几何、代数、分析各分支出现如雨后春笋般的竟相发展。仅在十九世纪的前30多年中，一批二三十岁的年轻数学家就在数论、射影几何、复变函数、微分几何、非欧几何、群论等领域作出开创性的成绩。 随着众多新研究方向的开拓和证明严格化的要求，越来越多的学者开始埋头于较窄的领域作精细的研究。如阿贝尔主要从事分析与代数学研究，彭赛列专攻射影几何，伽罗瓦关心代数方程的可解性。只有高斯和柯西仍然关心科学与数学中几乎所有的问题。 在十九世纪下半叶，一些数学家注意了各分支间的联系，最著名的有克莱因的埃尔朗根纲领，在几何中引进群的观点，取得很大成功，但专门化的研究方式尚处于方兴未艾的阶段。从十九世纪晚期开始的将数学各分支奠基于公理体系之上的运动，又推进了各分支的细分，这种倾向一直延续到二十世纪。 十九世纪数学家的工作方式呈现出全新的、不同于十八世纪的特色。数学成为一项得到全社会承认的职业，数学家主要在大量培养人才的新型大学教书，研究与教学有机地联系在一起。法国的巴黎综合工科学校、巴黎高等师范大学，德国的柏林大学、格丁根大学是当时最重要的数学研究与教学中心。 由于数学家人数与成果的剧增交流思想与成果的渠道增多了，数学杂志成了重要的传播媒介。法国的热尔岗编辑出版了《纯粹与应用数学年刊》，是最早的专门数学期刊。之后，高水平的数学杂志相继问世，最著名的有克雷尔创办的德文的《纯粹与应用数学杂志》，刘维尔创办的法文的《纯粹与应用数学杂志》。 到十九世纪后半叶，随着各国数学会的问世，各种会刊及专门杂志显著增加。这些数学会还在推动本国数学发展和促进国际学术交流方面发挥积极作用。最早成立的是伦敦数学会，之后创建的有法国数学会、美国数学会和德国数学会。在接近世纪之末，由各国数学会发起在瑞士苏黎世召开了第一届国际数学家大会，后成为一项定期举行的国际学术活动。 十九世纪数学的发展错综复杂，粗略地可以分为四个阶段。 数论、分析与几何的创新阶段 这一阶段从十九世纪初到十九世纪二十年代。 1801年，高斯发表《算术研究》，这部象征近代数论起点的巨著，同时也打开了数学新世纪的大门。十九世纪前的数论主要是一些漂亮但却孤立的成果，高斯一方面将这些成果系统化，对问题及方法加以分类，同时开辟了全新的课题及方法。树立了严格证明的典范，认为找出简单漂亮的证明，有助于掌握问题的实质并发现不同问题间的联系(典型的是他给出了二次互反律的七个证明)。 高斯的观点代表了十九世纪对数学严密性追求的时代精神，也指出了纯粹数学发展的一条途径。同年，高斯依据少量观测数据，运用误差分析等方法计算出谷神星的轨道，准确地预报了这颗小行星在天空出现的时刻，哄动了科学界。高斯在一生中始终对理论与应用同等重视，他的成就一直鼓舞着最有才华的数学家。他和阿基米德、牛顿一起，被认为是历史上最伟大的数学家。 1807年，傅里叶向巴黎科学院提交了一篇关于热传导的文章，在解热传导方程时，提出任意函数可用三角级数表示。这是分析学在十九世纪的首项重要工作，它不仅使分析方法进入新的物理领域，而且扩展了函数概念，推进了偏微分方程理论。对傅里叶级数收敛点的研究，最终导致康托尔创立集合论。由于傅里叶级数在应用中的重要性，研究其收敛性成为分析严格化的动力之一。 十九世纪分析严格化的倡导者有高斯、波尔查诺、柯西、阿贝尔和狄利克雷等人。1812年，高斯对一类具体的级数——超几何级数，进行了严密研究，这是历史上第一项重要的有关级数收敛性的工作。1817年，波尔查诺首先抛弃无穷小量概念，用极限观念给出导数和连续性的定义，并得到判别级数收敛的一般准则(现称柯西准则)，由于他的工作长期被埋没，因此对当时数学的发展没有产生影响，是数学史上一件憾事。 柯西是对分析严格化影响最大的学者，1821年发表了《分析教程》，除独立得到波尔查诺的基本结果，还用极限概念定义了连续函数的定积分，这是建立分析严格理论的第一部重要著作。值得注意的是，柯西的分析理论基本上基于几何直观，按现代标准衡量仍不够严密。阿贝尔一直强调分析中定理的严格证明，在1826年最早使用一致收敛的思想，证明了连续函数的一个一致收敛级数的和在收敛区域内部连续。柯西在建立严格的分析理论的同时，还为十九世纪最重要的数学创造——单复变函数论奠定了基础。1814～1825年间，他得到了计算复函数沿复平面上路径积分的基本定理和留数计算公式。由于柯西的工作，复数和复变函数论在十九世纪20年代为广大数学家所熟悉。1826年，阿贝尔和雅可比创立了椭圆函数理论，成为复变函数论蓬勃发展的生长点。十九世纪最富革命性的创造当属非欧几何。自古希腊时代始，欧氏几何一直被认为是客观物质空间惟一正确的理想模型，是严格推理的典范。16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时，都试图归之为欧氏几何问题。 但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注，以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了数学家千百年的问题，终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明，得到在逻辑上相容的非欧几何，其中平行公设不成立，但由于担心受人指责而未发表。 1825年左右，波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果，并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章《论几何基础》是最早发表的非欧几何著作，因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何。这项发现的技术细节是简单的，但观念的变革是深刻的，欧氏几何不再是神圣的，数学家步入了创造新几何的时代。 非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器，但由于它背叛传统，创立之初未受到数学界的重视。只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时，才因高斯的名望而引起数学家们的关注。 十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年，彭赛列发表《论图形的射影性质》，这是他1813～1814年被俘关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影所共有的性质，他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标，用代数方法研究射影性质，丰富了射影几何的内容。 对纯几何问题兴趣的增长，并未减弱分析在几何中的应用。高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作，引起他对微分几何的兴趣。1827年他发表的《关于曲面的一般研究》，为这一数学分支注入了全新的思想，开创了微分几何的现代研究。 代数观念的变革时期 代数思想的革命发生在十九世纪30～40年代。 1830年，皮科克的《代数学》问世，书中对代数运算的基本法则进行了探索性研究。在这之前，代数的符号运算实际仅是实数与复数运算的翻版。皮科克试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。他和德·摩根等英国学者围绕这一目标的工作，为代数结构观点的形成及代数公理化研究作了尝试，因而皮科克被誉为“代数中的欧几里得”。皮科克的目标虽然很有价值，但方法过于含糊，无法达到他的愿望。 代数中更深刻的思想来自于数学史上传奇式的人物伽罗华。在1829～1832年间，他提出并论证了代数方程可用根式解的普遍判别准则，从概念和方法上为最基本的一种代数结构(群)理论奠定了基础，阐明了群的正规子群及同构等重要概念。 伽罗瓦在1832年去世前，几次向巴黎科学院递交他的论文，均未获答复。他的理论在1846年由刘维尔发表之前几乎无人知晓，到十九世纪60年代后才引起重视，这是数学史上新思想历经磨难终放异彩的最典型的例证。 另一项引起代数观念深刻变革的成果，归功于哈密顿和格拉斯曼。哈密顿在用“数对”表示复数并探究其运算规则时，试图将复数概念推广到三维空间，未获成功，但却意想不到的创立了四元数理论，时间是1843年。 四元数是第一个被构造出的不满足乘法交换律的数学对象。从此，数学家便突破了实数与复数的框架，比较自由地构作各种新的代数系统。四元数理论一经问世便引来数学与物理学家的讨论，它本身虽没有广泛应用，但成为向量代数、向量分析以及线性结合代数理论的先导。1844年，格拉斯曼在讨论 n维几何时，独立得到更一般的具有 n个分量的超复数理论，这一高度独创的成果由于表达晦涩，无法为当时的学者所理解。在这一时期，还诞生了代数不变量理论，这是从数论中的二次型及射影几何中的线性变换引伸出的课题。1841年左右，凯莱受布尔的影响开始研究代数型在线性变换下的不变量。之后，寻找各种特殊型的不变量及不变量的有限基，成为十九世纪下半叶最热门的研究课题，出现了人数众多的德国学派，进而开辟了代数几何的研究领域。 数论中的重要问题，往往成为新思想发展的酵母。1844年，库默尔在研究费马大定理时提出了理想数理论，借助理想数可证明在惟一因子分解定理不成立的代数数域中，普通数论中的某些结果仍成立。 在这代数学丰产的时期，几何、分析和数论也都有长足的进步。格林在讨论变密度椭球体的引力问题时，考虑了 n维位势；凯莱在分析学中讨论了具有 n个坐标的变量；格拉斯曼则直接从几何上建立高维空间理论。他们从不同角度导出超越直观的 n维空间概念。施陶特确立了不依赖欧氏空间的长度概念的射影几何体系，从逻辑上说明射影几何比欧氏几何更基本。 分析的严格化在继续。狄利克雷按变量间对应的说法给出现代意义下的函数定义。魏尔斯特拉斯开始了将分析奠基于算术的工作，从1842年起采用明确的一致收敛概念于分析学，使级数理论更趋完善。 值得注意的是，未经严格证明的分析工具仍被广泛使用，在获得新结果方面显示威力。格林首先使用了位势函数的极小化积分存在的原理，即现称的狄利克雷原理，它的严格理论迟至1904年才为希尔伯特阐明，但是 在十九世纪50年代就已成为黎曼研究分析学的重要工具。 随着分析工具的逐步完善，数学家开始更自觉地在数学其他分支使用它们。除微分几何外，解析数论也应运而生。1837年，狄利克雷在证明算术序列包含无穷多素数时，精心使用了级数理论，这是近代解析数论最早的重要成果。刘维尔则在1844年首次证明了超越数的存在，引起数学家对寻找超越数和证明某些特殊的数为超越数的兴趣。在下半世纪，林德曼利用埃尔米特证明 e为超越数的方法，证明了π的超越性，从而彻底解决了化圆为方问题。 数学新思想的深化阶段 这一阶段从十九世纪五十年代到十九世纪七十年代。 1851年，黎曼的博士论文《单复变函数一般理论的基础》第一次明确了单值解析函数的定义，指出了实函数与复函数导数的基本差别，特别是阐述了现称为黎曼面的概念和共形映射定理，开创了多值函数研究的深刻方法，打通了复变函数论深入发展的道路。黎曼本人利用这一思想出色地探讨了阿贝尔积分及其反演阿贝尔函数，1854年，黎曼为获大学讲师资格，提交了两篇论文，其中《关于作为几何学基础的假设》是数学史上影响最深远的作品之一。 在十九世纪前半叶，数学家已认识到存在不同于欧氏几何的新几何学，并发展了内蕴几何和高维几何的理论，但它们处于分散与孤立的状态。黎曼以其深刻的洞察力将三者统一于 n维流形的理论，开始了现代微分几何学研究。 这是关于任意维空间的内蕴几何，黎曼以二次微分形式定义流形的度量，给出了流形曲率的概念。他还论证了能在球面上实现二维正的常曲率空间。据说黎曼的深刻思想当时只有高斯能理解。经十九世纪60年代贝尔特拉米等人的介绍与推进，黎曼的理论才开始为广大数学家领悟，他们对微分不变量的研究，最后导致里奇创立张量理论。 在另一篇论文中，黎曼探讨了将积分概念推广到间断函数上去，提出了现称为黎曼积分的概念。他构造了具有无穷间断点而按他的定义仍可积的函数。寻找这类函数是十九世纪70～80年代很时髦的课题。沿着扩展积分概念的方向，后来的数学家得到各种广义积分，最著名的当属二十世纪初出现的勒贝格积分。 1859年，黎曼研究 ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想，在几何、分析、数论领域长盛不衰，有力地影响着十九世纪后期以至二十世纪的数学研究。 魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作，提出了现代通用的极限定义，即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例，告诫人们必须精细地处理分析学的对象，对实变函数论的兴起起了催化作用。在复变函数论方面，他提出了基于幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期，到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就，后被誉为“现代分析之父”。 当德国学者在分析与几何领域大放异彩之时，英国学者继续发挥他们在代数中的优势。1854年，布尔发表了《思维规律的研究》，创立了符号逻辑代数，这是使演绎推理形式化的有力工具。布尔强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。 1855年，凯莱在研究线性变换的不变量时，系统地提出矩阵概念及其运算法则。矩阵是继四元数之后的又一类不满足乘法交换律的数学对象，它们和群论都是推动抽象代数观点形成发展的重要因素。在凯莱之后，矩阵理论不断完善，不仅成为数学中的锐利武器，还是描述和解决物理问题的有效武器。 基于对矩阵和四元数的认识，凯莱还引进了抽象群的概念，但未立刻引起重视，抽象群论的发展还有待于对各种具体的群作深入的研究。 十九世纪60年代末，若尔当担起了向数学界阐明伽罗瓦理论的重任，在发表于1870年的《置换论》中，他对置换群理论及其与伽罗瓦方程论的联系作出清晰的总结，为群论在十九世纪最后30年间的发展奠定了基础。 在这一时期，数学家对射影几何及非欧几何的认识也日趋深化。1859年，凯莱论证了欧氏空间的度量性质并非图形本身的届性，而可以借助某种特定图形按射影概念加以建立，说明欧氏几何是射影几何的一部分。克莱因发挥凯莱的思想，同样论证非欧几何也可以包括在射影几何之内。这样便彻底澄清了射影几何与那些度量几何的关系，铺平了几何公理化发展的道路。 1868年，贝尔特拉米在伪球面上实现了罗巴切夫斯基几何，在欧氏空间中给出直观上难以想象的非欧几何模型。之后克莱因和庞加莱分别给出各自的非欧几何模型，说明非欧几何本身的相容性(即无矛盾性)与欧氏几何一致，加速了人们接受非欧几何的进程。 在60年代末70年代初，由高斯在十九世纪初开辟的代数数论研究，经由戴德金和克罗内克等人的推进，形成为内容丰富的现代数学分支。戴德金引进一种代数数类代替库默尔的理想数，重建了代数数域中的惟一因子分解定理，创立了理想论。克罗内克则另辟蹊径，得到相似的概念，并创立有理函数域论，引进在域上添加代数量生成扩域的方法。 这里，需要提及概率论中的几项重要成果。在十九世纪，概率论的发展不象数学其他分支那样突出。自拉普拉斯之后，泊松曾得到著名的泊松分布。更重要的是切比雪夫关于独立随机变量序列的大数律和某类独立随机变量序列的中心极限定理，概率论的系统理论到二十世纪才完成。 综上所述，可看到十九世纪前半叶出现的新思想，在这20多年间变得更成熟，形成了众多独立的研究方向或分支学科。 数学公理化运动的初创期 这一阶段从十九世纪七十年代初到十九世纪末。数学经过十九世纪前七十年的发展，讨论基础问题的条件已趋成熟。与以前的世纪不同，十九世纪的数学家最终选择算术而不是几何作为本门科学的基础。 几何中普吕克有关齐次坐标的研究，分析中魏尔斯特拉斯的静态方法都反映了这种倾向。但是算术中最基本的实数概念始终是模糊的。柯西的实数定义有严重缺陷，犯了循环定义的错误。 1872年，魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金和其他一些数学家，在确认有理数存在的前提下，通过不同途径给无理数下了精确定义。又经过不少数学家的努力，最终由意大利学者皮亚诺完成了有理数理论。1881年，他在《算术原理新方法》中，给出了自然数的公理体系，由此可从逻辑上严格定义正整数、负数、分数、无理数。 康托尔在探讨实数定义的同时，研究了傅里叶级数收敛点集的结构，1874年起发表一系列有关无穷集合的文章，开创了集合论这一基础性的数学分支。康托尔的成果是高度独创性的，他把无穷集本身作为研究对象，通过一一对应方法，区分无穷集的大小，定义了集合的基数(或称势)，引进序型、序数以及一些属于拓扑学的基本概念。他提出了著名的连续统假设。 康托尔的工作影响十分深远：首先是重新唤起人们对实无穷的研究，开拓了点集拓扑的领域；第二，使人们把函数的定义域建立在一般的点集之上，推动了测度论和泛函分析的研究；第三，由于集合论的内在矛盾，激发起对数理逻辑和数学基础的深入研究。 但集合论问世之初，曾遭到一些著名数学家的激烈反对，以至康托尔晚年处于精神崩溃状态。到十九世纪末，阿达马等证实了康托尔的理论在分析学中的重要应用，才使这一理论得到转机，终于成为二十世纪数学研究的一个基础。 分析的严格化以皮亚诺的自然数公理体系的建立而告一段落。这种公理化的倾向也同样在其他数学分支蔓延。弗雷格提出了逻辑公理体系，帕施得到了射影几何的公理体系。最著名的是希尔伯特于1899年在《几何基础》中阐述的欧几里得几何的公理系统。他考虑了公理系统的独立性、相容性和完备性，并证明欧几里得几何的相容性可归结为算术的相容性。 希尔伯特的工作掀起了公理化的热潮：一方面，数学家为各数学分支建立公理体系；另一方面，通过略去否定或其他方式改变所论体系的公理来探索新体系、新问题。公理化运动并没有限制新思想的萌生和对各种具体课题的研究，后者始终是数学发展中最活跃的因素。群论的应用在这一时期特别引人瞩目，1872年，克莱因受聘任埃尔朗根大学教授时，发表题为《关于近代几何研究的比较考察》的讲演(即著名的埃尔朗根纲领)，他指出每种几何可由特定的变换群来刻画，各种几何的研究内容是在相应的变换群下的不变量，一种几何的子几何则是研究原变换群的子群的不变量。根据变换群的观点，克莱因对几何进行了系统分类，揭示了群的概念在几何中的统一作用(不包括一般的黎曼几何和代数几何)开拓了研究几何的一种有效的方法。克莱因的工作体现了数学专门化趋势中蕴含的统一因素。 1874年，挪威数学家李在研究常微分方程与保持这些方程的解不变的变换群之间的关系时，创建了连续变换群理论(现称李群)以及相应的代数(现称李代数)。有了对具体的群的广泛研究，抽象群论获得了新生。1882年，德国数学家迪克受凯莱工作的鼓舞，引进用生成元和生成元之间关系来定义群的抽象观点，开始抽象群论的系统研究。与此相伴的是分析与经典代数方法对群论的应用，即群的表示理论应运而生。 组合拓扑学作为一门学科在十九世纪末登上了数学舞台。庞加莱是这一领域的主要奠基者。庞加莱是当时领头的数学家之一，兴趣广泛，研究涉及众多数学分支以至天体力学和物理科学。在探讨描述行星运动的微分方程周期解时，他采用了拓扑观点分析奇点及积分曲线的结构，开创了微分方程定性理论。在研究一般”维图形的结构时，引进了一套系统的组合方法，为组合拓扑奠定了基础。拓扑和抽象代数的观点和方法成为二十世纪最有影响的研究手段。 与庞加莱齐名的另一位著名数学家是希尔伯特。他不仅积极创导了公理化方法，而且特别重视数学中单个重大问题的研究，认为这是数学活力之所在。他本人就通过解决一系列具体问题，得到许多重要方法。十九世纪末，他发表了两个报告。《数论报告》系统总结了代数数论的全部成果，开辟了类域论的研究方向。 1900年，在第二届国际数学家大会上，希尔伯特作了影响深远的题为《数学问题》的报告，成为迎接二十世纪挑战的宣言。 在数学分成几十个分支各自独立发展的形势下，希尔伯特坚信数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各部分之间的联系。在十九世纪末，领头数学家对数学前途充满了信心，与十八世纪末的情景形成鲜明对照。庞加莱和希尔伯特的业绩展示了二十世纪数学大发展的曙光。