勾股定理的纯代数证明

dianyancao

给出一个直角三角形，两直角边分别为\(a\),\(b\),斜边为\(c\)
可以定义任意的一个面积计算函数\(S(a,b)\)，该函数表示一个直角三角形两直角边确定的面积\(S\)
并且可以分割直角三角形为几个部分，分割后其部分面积满足可加性，其和等于\(S\)

从欧几里德的基本公理出发，如何求解该函数\(S(a,b)\)，并求得该直角三角形的斜边\(c\)?

kastin

勾股定理本质反应了面积的的可加性，无论是用什么证明方法，本质上还是回归到面积这个概念。
利用量纲理论中的 `\Pi` 定理，可以证明勾股定理。

kastin

kastin 发表于 2015-3-27 18:17
勾股定理本质反应了面积的的可加性，无论是用什么证明方法，本质上还是回归到面积这个概念。
利用量纲理论 ...

@dianyancao 简要说明一下，`\Pi`定理(E. Buckingham，常译为布金汉定理，白金汉定理）：
对于某个现象，若影响该现象的有量纲变量有 `n` 个(包括自变量和因变量)，它们之间满足某种函数关系，一般用方程组表示为 `\boldsymbol{F}(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0`。若其中基本量纲有 `k` 个，于是可以将这些有量纲变量以幂的乘积形式构成 `(n-m)` 个独立的无量纲量（求解过程就是解出幂乘积中各个指数——求解线性方程组），那么各无量纲量将满足方程组 `\boldsymbol{f}(\Pi_1,\Pi_2,\cdots,\Pi_{n-k})=0`。因为这些无量纲量（相似理论中称为“相似准则”）用 `\Pi` 表示，故称 `\Pi` 定理。

这个定理估计学物理的不一定都熟悉，其实它只是相似理论（或量纲分析）中的非常小的一部分内容，学流体力学（热能工程也包括在内）的应该比较熟悉一点。其中更常用的则是关于微分方程的量纲以及量阶分析。

显然，直角三角形的面积 `S` 与其某个锐角 `\alpha`，以及斜边 `c` 存在函数关系——这是由于一个直角三角形可以被其斜边以及一个锐角唯一确定。

根据 `\Pi` 定理容易得到$$f(\alpha,\frac{S}{c^2})=0$$改写成显式表达,$$S=g(\alpha)c^2$$现在过直角顶点作底边 `c` 的垂线，将直角三角形分成两个小直角三角形，那么根据同一个角的余角相等可知，小三角形的最小锐角都等于大三角形的最小锐角 `\alpha`。因此，利用面积相加可知$$g(\alpha)c^2=g(\alpha)a^2+g(\alpha)b^2$$即$$c^2=a^2+b^2$$

dianyancao

改写成显式表达,

\[S=g(\alpha)c^2\]
这里应用了什么规则呀？
函数\(g\)只和\(\alpha\)有关吗？

dianyancao

http://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_%CF%80_theorem
分析量纲，得到简单摆的摆动周期和其质量无关，赞！

dianyancao

@kastin 使用量纲分析，是否意味着对于时间单位dimension T，如下的计算结果都没有实际的物理意义呢？
\[e^{-T} \\
T\ln{T}\]
这里的T应该替换为和某个取定的时间间隔的比值,如\(\frac{T}{1s}\)？

hujunhua

kastin 发表于 2015-3-27 18:17
勾股定理本质反应了面积的的可加性，无论是用什么证明方法，本质上还是回归到面积这个概念。
利用量纲理论 ...

什么定理又本质地反映了体积的可加，呢

kastin

dianyancao 发表于 2015-3-28 15:38
@kastin 使用量纲分析，是否意味着对于时间单位dimension T，如下的计算结果都没有实际的物理意义呢？
\[e ...

问的不错，首先可以肯定的是，任何物理定律必然是量纲和谐的。那么上述表达式问题出在哪？其实这里你忽略了一个东西，那就是物理定律中的系数。

大部分系数是有量纲的（注意，量纲和单位不是同一个概念，比如角的单位有弧度和角度——度、分、秒，人民币也有元、角、分单位之分，但他们都是无量纲量），当然也存在无量纲（或者说量纲为一）的系数——这时它是一种比例因子的作用。

系数的作用就是使得量纲和谐，举例如下。

考虑一维质点运动，假设某质点运动规律符合微分方程$$\frac{\dif s}{\dif t}=-s$$很容易求出位移 `s=c\,\mathrm e^{-t}`，于是你会说这个公式没有物理意义。其实大家回头再看看微分方程，左端具有速度的量纲 `LT^{-1}`，同样右端也应该具有速度的量纲（否则就不能划等号了，你想1kg=1m有意义吗？)。因此，右端隐式地存在一个量纲为 `T^{-1}` 的系数 `k`，其大小为1。于是方程的解应该是$$s=c\,\mathrm e^{-kt}\space(k=1 \,\mathrm s^{-1})$$这样便明显了。
另外需要说明的是，系数 `c` 在这里是无量纲的，因为积分常数在积分过程中出现的时候，等式右端已经变为无量纲量的加减。

注意，物理实验或者数学模型中的经验公式都不具有量纲和谐特点，其原因就跟上面的例子一样——掩盖了相应的有量纲系数（就像上面的例子一样）。你所举例的例子也是如此。

kastin

hujunhua 发表于 2015-3-28 15:47
什么定理又本质地反映了体积的可加，呢

如果是指物理中，体积是没有可加性的（比如水和酒精，水和食盐等等）。如果是说空间几何中的定理，只用体积可加性得到的定理，我还真没见到过。不过在很多立体几何题目中，很多性质是可以用体积法来证明的。

从量纲分析上来说，我觉得应该不存在这样的本质反映体积可加性的几何定理。因为一般体积大小与多条边长以及多个二面角相关，使用量纲分析之后会有多个 `\Pi` 的出现，于是导致无法使得体积能如上面那样显式表达，且面角均出现在不同未知函数而不是同一个未知函数中，因而无从约掉。

大家一起来回忆一下，看看有没有见到过的定理公式中具有长度的3次或者-3次的齐次等式。比如3次齐次式形如`f(ab^2,c^3)=0`

dianyancao

kastin 发表于 2015-3-28 17:27
如果是指物理中，体积是没有可加性的（比如水和酒精，水和食盐等等）。如果是说空间几何中的定理，只用体 ...

如下构造了几个
力的量纲\(F_{dimension}\)
\[F_{dimension}=MLT^{-2}\]
能量的量纲\(E_{dimension}\)
\[E_{dimension}=ML^2T^{-2}\]
能量增量和时间增量的比值的量纲\({(\frac{\Delta E}{\Delta t}})_{dimension}\)
\[{(\frac{\Delta E}{\Delta t}})_{dimension}=ML^2T^{-3}\]