球面三角形面积

kastin

一个半径为 `R` 的球，从原点发射出三条射线，两两夹角为60°，分别以这三条射线为轴，作顶角为60°的圆锥两两相切，三个圆锥与球相交而成三个球冠，求这三个球冠在球面上所围成的特殊“球面三角形”的面积。

inRm3D, Cabri 3D, GeoGebra（5.0） 这三款软件都有立体绘图的能力，只是学习起来还是比较花时间，不知谁能附图上来？也方便直观观察问题。

倪举鹏

在这个球面上，三个小圆是两两相切的。小圆用圆柱截球二重积分可以算面积，或曲线旋转算面积。三小圆心连线的球面三角形面积也可以算。连上球心形成的四面体的二面角可算，二面角截小圆的面积也可以算。就都算出来了

hujunhua

球冠扇形表面积公式`S=\theta RH`（`\theta`：扇形中心角,`H`:球冠高）
球面三角形的面积公式`T=(A+B+C-\pi)R^2`
在本题中`A=B=C=\theta=\arccos\frac13,H=(1-\cos\frac{\pi}{6})R`
故所求球面曲边三角形的面积`=T-3S=(\frac{3\sqrt3}{2}\theta-\pi)R^2`

`\approx0.0565\cdots R^2`

倪举鹏

这个问题还难想一些http://bbs.emath.ac.cn/thread-6150-1-1.html