幂和不等式

ccmmjj · 发表于 2015-5-11 19:55:32

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这是我自己独立推导的结果，希望网友参与讨论。

已知：\(a_i\gt0,\;p\gt q\gt0,\;\prod a_i=1\)
求证：\(\sum a_i^p\geq\sum a_i^q\)

ccmmjj · 发表于 2015-5-11 19:58:37

对p<q<0也有类似结论，只是对pq<0时难以分析，所以有那道游戏小题。

mathe · 发表于 2015-5-11 20:37:56

冪平均不等式简单变换一下即可

mathe · 发表于 2015-5-11 20:38:26

右边除n然后1/q次大于几何平均所以不小于1。然后分别用p,q次冪平均不等式，两边同时p次，然后右边由于底不小于1,次数p/q>1放缩到一次即可

ccmmjj · 发表于 2015-5-11 23:34:18

mathe 发表于 2015-5-11 20:38
右边除n然后1/q次大于几何平均所以不小于1。然后分别用p,q次冪平均不等式，两边同时p次，然后右边由于底不 ...

厉害，居然知道源头。谢谢mathe兄。我是在思考一道奥赛题“已知：x、y、z都是正数，且xyz≥1，求证：x＾5+y＾5+z＾5≥x＾2+y＾2+z＾2。”想到推导这个不等式。当时我没想到幂平均不等式，推导的方法不同于你所说的。说起来也挺简单，只是用了一个(1+x)^p>1+px (p>1,x>-1)这个式子而已。

ccmmjj · 发表于 2015-5-22 02:08:02

我的证明如下：

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