四面体的四面面积与体积

aimisiyou

若已知四面体四面面积分别为S1、S2、S3、S4，能否求出体积表达式？

gxqcn

不能，条件不充分。
即便4个面是全等的等腰三角形（面积S），四面体的体积也不是S的一元函数。

如图，深蓝色的母体是一个正方柱，高为h, 正方形底边长a. 从中可以斜解出一个等面四面体（红色）
`\D S^2=\frac{a^2}{2}(h^2+\frac{a^2}{2})`, `\D V=\frac13ha^2`
从上两式中不能同时消去 a 和 h，只能消去其中 1 个，比如消去 h可得
`\D V=\frac13a\sqrt{2S^2-\frac{a^4}{2}}`

282842712474

6条合适的棱长可以确定一个四面体，体积由这六个独立参数唯一确定。
四个面积比起6个棱长，损失了2个信息，原则上是无法还原的。上楼的实例表明确实无法还原。

由此可见要想达到目的，必须棱长之间有一定的约束关系，使独立棱长数减少至与独立面积数相同。比如正三棱锥可以。
正三棱锥可由底边长 a 和 高 h 确定，四个面积则退化为两个面积，正好可以换元。

1）在球面上任取三点，假定构成边长为a,b,c的三角形，与球心构成的四面体棱长参数退化为a,b,c,r, 面积数量无退化，故可以换元。正三棱锥是这种实例的一个特例。
2）下图所示的四面体也行，它有三个棱长参数，三个面积参数：


楼上的实例是上述2）的特例。2）可以，为何其特例却不行呢？

葡萄糖

The Pseudo-Heron Volume Formula
http://daylateanddollarshort.com ... rahedral-Volume.pdf

让给定棱长为\(u\),\(v\),\(w\),\(U\),\(V\),\(W\).
在这里\((u,U)\),\((v,V)\),\((w,W)\)被认为是相对的棱(相对l棱的边缘不共享公共顶点)。
现在可以发现，从下面的公式：
\(\left\{ \begin{array}{l}
u'  = v^2 + w^2 - U^2\\
v'  = w^2 + u^2 - V^2\\
w'  = u^2 + v^2 - W^2
\end{array} \right.\)
\[\text{volume} = \frac{1}{12}\sqrt {4u^2v^2w^2- u^2u'^2  - v^2v'^2  - w^2w'^2  + u' v' w' } \]
这些经典公式来源于课本《三维解析几何》(D.M.Y.萨默维尔著)，剑桥大学出版社，1951。
http://zobayer.blogspot.com/2009 ... ar-tetrahedron.html
Volume of a Tetrahedron from its Edge-Lengths(page 11):
https://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf
http://citeseerx.ist.psu.edu/vie ... p=rep1&type=pdf

四面體的餘弦定理:
\(S_{4}^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2-S_1S_2\cos\theta_{12}-S_2S_3\cos\theta_{23}-S_1S_3\cos\theta_{13}\)
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_12_1/page2.html
平面三角形与空间四面体之间的类比:http://www.pep.com.cn/czsx/jszx/ ... 0120426_1121141.htm
余弦定理の拡張:http://www25.tok2.com/home/toretate/cos012.html
三角形到四面體的完全類比.pdf:http://activity.ntsec.gov.tw/act ... ior/0404/040406.pdf
四面體:http://www.twwiki.com/wiki/四面體

塔尔塔利亚公式:
\(V^2=\frac{1}{288}\begin{vmatrix}
0&d_{12}^2&d_{13}^2&d_{14}^2&1\\
d_{21}^2&0&d_{23}^2&d_{24}^2&1\\
d_{31}^2&d_{32}^2&0&d_{34}^2&1\\
d_{41}^2&d_{42}^2&d_{43}^2&0&1\\
1&1&1&1&0\\
\end{vmatrix}\)
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 45&fromuid=8916
四面体\(ABCD\)的体积是\(V\)，\(AB=a\)，\(AC=b\)，\(AD=c\)，\(CD=l\)，\(BD=m\)，\(BC=n\)
\(AB\)是\(CD\)的对棱，\(AC\)是\(BD\)的对棱，\(AD\)是\(BC\)的对棱，
即\( a\)对应\(l\)，\(b\)对应\(m\)，\(c\)对应\(n\)，
\(P_1=(al)^2(–a^2+b^2+c^2–l^2+m^2+n^2)\)，
\(P_2=(bm)^2(a^2–b^2+c^2+l^2–m^2+n^2)\)，
\(P_3=(cn)^2(a^2+b^2–c^2+l^2+m^2–n^2)\)，
\(P=(abn)^2+(acm)^2+(bcl)^2+(lmn)^2\)，
则\[V=\frac{\sqrt{P_1+P_2+P_3–P}}{12}\]。
\(V=\frac{1}{6}abc\sqrt{\sin\omega \sin(\omega-\alpha)\sin(\omega-\beta)\sin(\omega-\gamma)}\)
\(\omega=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}\)

数学星空

V=1/3*(S1+ S2+S3+S4)*r
r为四面体内切球半径

aimisiyou

282842712474 发表于 2015-7-20 09:02
6条合适的棱长可以确定一个四面体，体积由这六个独立参数唯一确定。

我说的是体积，没有说确定四面体啊！就好像我们知道三角形某一边长度和该边上的高，就可以算出面积，但并没有确定该三角形啊！

aimisiyou

gxqcn 发表于 2015-7-20 08:04
不能，条件不充分。
即便4个面是全等的等腰三角形（面积S），四面体的体积也不是S的一元函数。

一下子豁然开朗

nyy

葡萄糖 发表于 2015-7-20 10:22
The Pseudo-Heron Volume Formula
http://daylateanddollarshort.com ... ike-Results-for-Tet ...

\[S_{4}^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2-S_1S_2\cos\theta_{12}-S_2S_3\cos\theta_{23}-S_1S_3\cos\theta_{13}\]

应该是
\[S_{4}^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2-2S_1S_2\cos\theta_{12}-2S_2S_3\cos\theta_{23}-2S_1S_3\cos\theta_{13}\]

资料来源见
定理五(四面體的餘弦定律)：
設OABC為一個四面體，以 OA,OB,OC 為共同稜的兩面角分別為α,β,γ (見圖九)，則
\[
\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
(\triangle ABC)^2
&= (\triangle OAB)^2 + (\...
...e OAB \cdot \triangle OBC \cos \beta)
\end{eqalign}\eqno{(21)}
\end{displaymath}\]

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_12_1/page2.html