星空来算个阴影面积

倪举鹏

大圆圆心在原点，半径为1.   两小圆在大圆内部，与大圆相切。  两小圆交点坐标如图已知。两交点也在大圆内部。   算阴影面积表达式。

gxqcn

这道题有点意思。

过两个交点作直线，再分别过两个切点作圆的切线。
三线要么共点，要么彼此平行。

平行时，两个小圆的圆心易求；
共点时，利用切割线定理解方程，可以确定出三线交点在两交点所在直线上的位置；继而得到两个切点的位置。。。

过程可能复杂，我只是说出一个可行的方案而已。
如果本题最终能得到一个简洁的答案那就更妙了。

数学星空

我们可以设两个圆的圆心坐标分别为：(\(x_{01},y_{01}\))和(\(x_{02},y_{02}\)),其圆半径分别为\(r,R\)

可以得到下面方程：

\(x_{01}^2+y_{01}^2=r^2\).....................................(1)

\((x_1-x_{01})^2+(y_1-y_{01})^2=r^2\)..................(2)

\((x_2-x_{01})^2+(y_2-y_{01})^2=r^2\)..................(3)

\(x_{02}^2+y_{02}^2=R^2\)....................................(4)

\((x_1-x_{02})^2+(y_1-y_{02})^2=R^2\)................(5)

\((x_2-x_{02})^2+(y_2-y_{02})^2=R^2\)................(6)

为了便于计算，我们可做如下代换：

\(x_{01}=\frac{(1-r)(1-s^2)}{1+s^2}\)...................(7)

\(y_{01}=\frac{2s(1-r)}{1+s^2}\)...........................(8)

\(x_{02}=\frac{(1-R)(1-t^2)}{1+t^2}\)...................(9)

\(y_{02}=\frac{2t(1-R)}{1+t^2}\)...........................(10)

然后算得：

{\(Ｒ,r\)}为下面方程关于\(x\)的两个根：

\((4x_1^2y_2^2-8x_1x_2y_1y_2+4x_2^2y_1^2-4x_1^2+8x_1x_2-4x_2^2-4y_1^2+8y_1y_2-4y_2^2)x^2-(4(x_1x_2+y_1y_2-1))(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2)x-(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2)

(x_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+y_1^2y_2^2-2x_1x_2-2y_1y_2+1)=0\)



{\(s,t\)}为下面方程关于\(y\)的两个根：

\((x_1^2x_2-x_1x_2^2-x_1y_2^2+x_2y_1^2+x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2+x_1-x_2)y^2+(-2x_1^2y_2+2x_2^2y_1-2y_1^2y_2+2y_1y_2^2-2y_1+2y_2)y-x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1y_2^2-x_2y_1^2+x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2-x_1+x_2=0\)


关于阴影部分的面积：

\(Ｓ=\pi (R^2+r^2)+\frac{1}{2}\left(\arcsin(\frac{L}{2r})r^2+\arcsin(\frac{L}{2R})R^2\right)-\frac{L}{4}(\sqrt{4r^2-L^2}+\sqrt{4R^2-L^2})\)

其中\(L=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)

mathe

以(x1,y1)为反演中心作任意反演变换，那么大圆还是圆，另外一个点(x2,y2)跑到圆外面，另外两小圆变成过第二点的大圆的两切线了。

mathe

点(x,y)反演后坐标为`(\frac{x-x_1}{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+x_1,\frac{y-y_1}{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+y_1)`

aimisiyou

\(S=(\pi-2\arctan\frac{n}{a})(a^2+n^2)+(\pi-2\arctan\frac{n}{b})(b^2+n^2)+an+bn\),
其中\(n\)为线段\(p_1p_2\)距离的一半,\(\sqrt{(a+x)^2+y^2}+\sqrt{a^2+n^2}=1,\sqrt{(b-x)^2+y^2}+\sqrt{b^2+n^2}=1\),\((x,y)\)为点\((0,0)\)相对以\(p_1p_2\)为\(Y\)轴,其\(p_1p_2\)中心为原点的坐标系而言坐标

倪举鹏

计算方程大家都知道，只是感觉算出来面积的表达式好几页长，吓死人。我主要想用这个表达式来计算个极巧妙难以想到的问题

aimisiyou

坐标变换一下其实也不复杂呀......

hujunhua

呵呵，大多数人看到这题目都不会对求面积而是对怎么作出那两个圆感兴趣。郭老板说的那个交点可以这么直接作出来：
作一个过那两点的圆，它与大圆公共弦所在直线与两点所在直线的交点即是。

creasson

设大圆半径R，小圆半径r,则两交点（设为A,B）及三个圆心(设为O,P,Q），这五个点的距离可以用R,r表示出来。然后将P,O,A,B四点看成一个退化四面体，由欧拉的六棱长公式得一等式；同样的，由Q,O,A,B得另一等式；两等式联立可解出R,r，也就求出了阴影面积