最小有理多项式

wayne · 发表于 2015-10-23 10:09:41

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给定一个正整数$n$, 请计算出 $sin(pi/n)$ 的最小有理多项式,即其中一个根为$sin(pi/n)$ ,最高次数最小的多项式 (非数学软件)

数学星空 · 发表于 2015-10-24 09:29:01

设

$\frac{\pi}{n}=x,\sin(x)=y$..........(1)

则有

$\sin(nx)=\sin(\pi)=0$...................(2)

由于

$\sin(nx)=\frac{(\cos(x)+I\sin(x))^n-(\cos(x)-I\sin(x))^n}{2I}$.............(3)

代入(1）(2)并展开有：

$0=\sum^{[\frac{n-1}{2}]}_{k=0}\mathrm{C}^{2k+1}_n\sin(x)^{2k+1}\cos(x)^{n-2k-1}$.............(4)

$\sum^{[\frac{n-1}{2}]}_{k=0}\mathrm{C}^{2k+1}_n y^{2k+1} (1-y^2)^{\frac{n-2k-1}{2}}=0$........(5)

若设

$z=2\sqrt{1-y^2}=2\cos(x)=2\cos(\frac{\pi}{n})$..............................(6)

则有：

$\sin(nx)=y(z^{n-1}-\mathrm{C}^{n-2}_1 z^{n-3}+\mathrm{C}^{n-3}_2 z^{n-5}-\mathrm{C}^{n-5}_3 z^{n-7}+...)$...........(7)

显然有：

$z^{n-1}-\mathrm{C}^{n-2}_1 z^{n-3}+\mathrm{C}^{n-3}_2 z^{n-5}-\mathrm{C}^{n-5}_3 z^{n-7}+....=0$..........(8)

mathe · 发表于 2015-10-24 09:50:56

查看第二类切皮雪夫多项式即可。当然n非素数还需要去除一些因式

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[擂台] 最小有理多项式

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