两个不定方程

manthanein

\(x^{n}+y^{n}=z^2\)
\(x^{n}-y^{n}=z^2\)
不是方程组

猜想：
在 \(n\gt2\) 时且为奇数时，一定有\(x\)、\(y\)、\(z\)全为正整数的解。
在 \(n\gt2\) 时且为偶数时，没有\(x\)、\(y\)、\(z\)全为正整数的解。

manthanein

现象：
\(1^{3}+2^{3}=3^{2}\)
\(2^{3}+46^{3}=312^{2}\)
\(1^{3}+2^{3}=3^{2}\)
\(7^{3}+21^{3}=98^{2}\)
当n=3时，网上有人提出的公式为（还没检验）：
\(x=(b^2-a^2)(b^2+2ba-2a^2)c^2\)
\(y=(b^2-a^2)(2b^2-2ab-a^2)c^2\)
\(z=3(b^2-a^2)^2(a^2-ab+b^2)c^3\)

manthanein

n=4的情况在研究费马大定理的时候讨论过，没有正整数解