有关算术几何平均不等式

manthanein

n个正数的和一定，当它们相等时，积最大。但有时附加约束（比如要求各数取正整数）使得n个正数不可能完全相等。
这时有没有什么简明的判别式可以判断两个等和数组中哪一组的积更大呢？
n=2时是有的，那就是两数的差方。那么更大的n呢？

先从n=3说起吧。我曾经考虑过使用极差或者方差，很不幸，经检验都不是。

282842712474

首先，你这个n=2的结果是因为
$$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$$
所以$|a-b|$越小，$ab$就越大，事实上这只不过把问题换了另外一种提法而已，我感觉没什么意义。
对于n=3，有
$$24abc=(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3$$
如果你愿意，可以比较$(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3$的值。

hujunhua

n=2时，由于|a-b|比ab的次数低，计算简单，作为判别式是有意义的。
如果以比积的“次数降低，计算简单”作为标准，在n>3时应该没有合适的判别式。

manthanein

hujunhua 发表于 2015-11-15 17:47
n=2时，由于|a-b|比ab的次数低，计算简单，作为判别式是有意义的。
如果以比积的“次数降低，计算简单”作 ...

谢谢。看来，只能保留遗憾了。