根据点确定直角坐标系

manthanein

我们假设平面上已经有一个平面直角坐标系，原点未知，单位长度未知，横轴未知，纵轴未知，方向未知……
现在给出这个平面上的若干个点及其坐标，能否通过这些点和坐标确定这个坐标系的情况呢？
如果呢，至少需要几个点及其坐标？

manthanein

先来简单讨论尝试一下。
一个点明显是不可能的，因为单位长度未知。
如果有两个点，\(A(a,b)\)和\(B(c,d)\)，连接AB，设线段AB的长度为L。用\(\gamma\)表示单位长度，自然：
\(\gamma=\dfrac L {\sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}\)
这个单位长度问题大体上解决了。
以A为圆心，\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)为半径画圆。
以B为圆心，\(\sqrt{c^{2}+d^{2}}\)为半径画圆。
原点一定是这两个圆的公共点。
不过只有在相切或相离的时候才能这样确定原点。
通过直线AB的方程和正切，可以确定横轴和纵轴的方向（但我不确定是否能确定坐标轴的正方向）
看来两个点是有希望的。
但是不是给定两个点就一定能成功呢？

mathe

给定n个点(0,0),(1,0),…(n,0)还是无法确定y轴正方向