将二维平面嵌入高维欧几里得空间

manthanein

在三维空间中，二维平面的方程为：
\(Ax+By+Cz+D=0\)
如果嵌入更高维的欧几里得空间，二维平面的方程又该如何呢？

注意：这里所说的是二维意义上的平面，不是超平面。

manthanein

先推想一下，在n维欧几里得空间中，n-1维的超平面方程为：
\( \displaystyle  \sum_{i=1}^n A_{i}x_{i} = B\)
于是n-2维的超平面方程可以写为：
\( \displaystyle  \sum_{i=1}^n A_{i}x_{i} = B\)
\( \displaystyle  \sum_{i=1}^n C_{i}x_{i} = D\)
于是n-3维的超平面方程可以写为：
\( \displaystyle  \sum_{i=1}^n A_{i}x_{i} = B\)
\( \displaystyle  \sum_{i=1}^n C_{i}x_{i} = D\)
\( \displaystyle  \sum_{i=1}^n E_{i}x_{i} = F\)
\( \displaystyle  \sum_{i=1}^n G_{i}x_{i} = H\)
2维平面则需要\(2^{n-3}\)个方程构成方程组。

不过这样有些繁琐。我推测“不共线的三点确定一个平面”在高维欧几里得空间里仍然是成立的，这样或许可以得到简化的结果。

manthanein

经过一番思考，我觉得答案应该是这样的：
给定一个点\(P(p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n})\)

两个线性无关的向量：
\((m_{1},m_{2},m_{3},...,m_{n})\)
\((t_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n})\)

平面的参数方程：
\(x_{1}=p_{1}+\mu m_{1}+\lambda t_{1} \)
\(x_{2}=p_{2}+\mu m_{2}+\lambda t_{2} \)
\(x_{3}=p_{3}+\mu m_{3}+\lambda t_{3} \)
…………
\(x_{n}=p_{n}+\mu m_{n}+\lambda t_{n} \)

manthanein

其中\(\mu\)和\(\lambda\)是参数。