求∑(k^m)(q^k)

fungarwai

\(\displaystyle degp(k)=m,\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0)\)
\(\displaystyle f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^kq^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}\Delta^k(p(n))\)
\(\Delta(2n+1)=2(1)=2\)
\(\displaystyle f(n)=\frac{2n+1}{q-1}-\frac{2}{(q-1)^2}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{1}{q-1}-\frac{2}{(q-1)^2}=\frac{q-3}{(q-1)^2}\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+1)q^{k-1}=[\frac{2n+1}{q-1}-\frac{2}{(q-1)^2}]q^n-\frac{q-3}{(q-1)^2}\)

证明有了，把\((qE-I)^{-1}E\)求出来就是那堆算子

manthanein

呃……最后那个结果好像就是个高中问题吧？乘上q再错位相减就行了。

fungarwai

manthanein 发表于 2015-12-26 13:06
呃……最后那个结果好像就是个高中问题吧？乘上q再错位相减就行了。

m=5就说不出“就行了”这么简单了
用这个公式只需要对m次多项式做m次差分