比萨饼均分n份问题

mathe

如果将一个圆形比萨饼(厚度忽略不计)均分为n份，最少要切几刀(其中每刀都必须是直线，而且切的过程中不能移动比萨饼)?

mathe

比如两刀可以均分四份，而三刀应该只能六份，因为7份的方法应该面积不能均分

mathe

圆形比萨饼n刀好像很难突破2n份。所以大家还可以考虑一下正方形比萨饼。

lsr314

对于任意的凸的闭曲线，用三条直线将内部分成7个面积相等的部分都是不可能的。
首先，假设这三条直线在曲线内的部分是L,M,N,那么它们的交点都在L，M，N各自的两个三等分点之间，于是进一步可以得到最中间的三角形的面积不超过$1/3*1/2*4/7S=2/21S<1/7S.$

wayne

mathe 发表于 2016-2-12 04:58
圆形比萨饼n刀好像很难突破2n份。所以大家还可以考虑一下正方形比萨饼。

$n$条直线最多可以将凸的闭曲线（如正方形，圆）切成$f(n)$份，$f(n) = n +f(n-1)$，进而，得 $f(n)=1/2(n^2+n+2)$,   至于均分$F(n)$，不会超过这个值.

对于正方形，已知 $n =2k$时，均分$F(2k) >= (k+1)^2$,即$F(n) >= (n/2+1)^2 >= 1/4n^2+n+1 $

wayne

圆形pizza，随机切n刀，切出的块数的期望值是多少？ wolfram alpha给出的答案是 $\pi/16n(n-1)+n+1$，很好奇怎么计算的
http://www.wolframalpha.com/input/?i=square+division+by+lines

mathe

n刀互不相交分n+1块，每多一个交点多一块。假设任意两刀相交概率为p，那么平均p*n*(n+1)/2个交点

lsr314

wayne 发表于 2016-3-3 11:38
圆形pizza，随机切n刀，切出的块数的期望值是多少？ wolfram alpha给出的答案是 $\pi/16n(n-1)+n+1$，很好 ...

对于一般的凸的闭曲线，这个期望是$E(c)=n(n-1)(\pi S)/L^2+n+1$,其中L是边界的周长，S是面积。
对于圆形区域，$E(c)=1/4n(n-1)+n+1=1/4(n^2+3n+4)$
考虑到$(\pi S)/L^2$的上限就是1/4，$1/4(n^2+3n+4)$实际上就是凸的闭曲线E(c)的最大值，在圆形的时候取得。

Buffalo

wayne 发表于 2016-3-3 11:38
圆形pizza，随机切n刀，切出的块数的期望值是多少？ wolfram alpha给出的答案是 $\pi/16n(n-1)+n+1$，很好 ...

任德麟《积分几何学引论》，pp27-30