光滑函数的两个定义？

manthanein

维基百科上是这样的：光滑函数（smooth function）在数学中特指无穷可导的函数。

同济的《高等数学》是这样的（在脚注中）：函数各点都有切线，且切线随着切点的移动连续转动。（大意如此，书不在手头。记忆如有错误请指出）

这两个定义等价吗？

mathe

不等价。光滑还有不同的级别，前面那个相当于无穷阶，而后面那个仅一阶

kastin

“函数各点都有切线，且切线随着切点的移动连续转动”——若把函数曲线看做位移曲线，那么切线斜率就是速度，切线岁切点移动连续转动，意味着速度连续变化，并不保证变化没有突变。即使这种变化是没有跳变的，也仅仅只能意味着加速度是连续的，即所谓的“加加速度”(jerk)是连续的，但加加速度曲线并不一定可导。如此推衍下去，同济版的说法根本无法精确地阐释光滑的概念。

附注：jerk就是加速度的变化率，在物理界内是这样称呼的 。中文翻译的叫法有很多，但比较常用的是“急动度”这一翻译（当然也可以形象地叫做“加加速度”）。这个物理量用的不多，主要用在材料疲劳以及交通舒适度方面（加速度变化不剧烈，人才感到舒服），非线性动力学等领域中中。