高精度乘方

落叶

先说说整指数乘方，百度上搜到一个程序，效率很高，代码简洁：
int pow(int x,int n)
{
int temp(x),res(1);
while(n)
{
if(n&1)
{
res *= temp;
}
temp *= temp;
n>>=1;
}
return res;
}
把2^61代入运算，内存变化图是这样的：61的二进制形式是111101
res    =       2      2        32      8192        536870912       2.305843009213693952E18                           
temp=        4    16       256   65536     4294967296        1.8446744073709551616E19
2.305843009213693952E18 是最终结果 除红色部分外有9次是关键乘法，前两个红色 2  2近似不占运算时间，后面红色1.8446744073709551616E19是冗余运算。
我的源程序和上述算法效率差不多，因构思不一样，也贴出来
Dim a(50) As Integer
i = 0
        Do
            yCzs3 = yCzs.Zx(1) Mod 2                                         ‘yCzs.Zx(1)中存放的是指数
            If yCzs3 = 0 Then
                yCzs.Zx(1) = yCzs.Zx(1) / 2
                a(i) = 2
            Else
                yCzs.Zx(1) = yCzs.Zx(1) - 1
                a(i) = 1
            End If
            yCzs3 = yCzs.Zx(1)
            i = i + 1
        Loop While yCzs.Zx(1) <> 1                '等于一退出                 ’循环完成后a()的内存情况为：1 2 2 1 2 1 2 1 2

        For j = i - 1 To 0 Step -1                                                     ‘一共需要9次乘法                  
            If a(j) = 2 Then
                zCzs1 = myMULTIPLY(zCzs1, zCzs1)                          ’ zCzs1的初始值是2,myMULTIPLY（）函数是大数乘
           Else
                zCzs1 = myMULTIPLY(zCzs1, zCzs2)                            ’ zCzs2的初始值是2
            End If
        Next
我的思路是这样的：((((((((2^2)*2)^2)*2)^2)*2)^2)^2)*2

落叶

上面只是说到整指数，如果指数是小数，情况就复杂多了，
有一种方法是先把小数化成分数
如2的1.2次方就等于2的5分之6次方,等价于2的6次方，再开5次方，yroot(5,2^6)  =2.2973967099940700135972538935559
这个方法缺点很大，如2^0.1111111111111111等于2的10000000000000000次方，然后再开1111111111111111次方
这么大的乘方，开方，效率低下，而且难以实现，没有这么大的高精开N次方程序，
不过有了这个公式 ：a^x= 1+ax+a*(a-1)*x^2/2!+a*(a-1)*(a-2)*x^3/3!+...+a*(a-1)*(a-2)*...(a-n+1)x^n/n!
这个公式有两个难点，a的大小要接近1，x的大小要接近0
我的方法如下：例：123.45^67.891
123.45^67.891可分为(1.2345^67.891)*(10^2)^67.891=(1.2345^67.891)*(10)^(2*67.891)
对1.2345，和10分别开2^80次方，此时底数a 的形式变为1.0000.......xxx，当然结果返回后针对前面的开方要做后期处理。
对指数处理：67.891=67+0.891，指数67可以用前面的整指数乘方程序算，
然后把分解后的a 和x(这里是0.891)代入泰勒公式计算，
计算完成后要针对前面的开方作后期处理
开方后期处理是:

              string1 = myCf(string1, 2^80),    myCf是整数乘方函数

因程序太复杂，中间相互调用多，源程序也难以理解，网友可以了解了解大致思路，有好的意见请指点。
上述思路已通过程序实现，证明是正确的。              
上面的泰勒公式化简为：a^x= 1+ ax*(2*3*4*5+ (a-1)*x*(3*4*5 + (a-2)*x*(4*5+(a-3 )*x*(5+(a-4)*x....))))/n!   这种方式的化简对公式的运算提速是明显的。                 
               

liangbch

乘方容易，若一个数>=2^b 而<2^(b+1),则之多需要2b次乘法。
对于开方，我觉得只需实现开平方和开立方。 其他次的开方和非整数次幂的乘法，用指数和对数来实现即可。

落叶

若一个数>=2^b 而<2^(b+1),则之多需要2b次乘法，这个说法很精确，超过了这个数，代表指数分解不彻底.
对于如何用开平方,和开立方,分解或化简开N次方,我曾试过多次,一直没成功.
我查了百度,大都在线计算器开N次方算法是把,例如:n√x换成x^(1/n),可以理解为是通过小数指数的乘方算法(这个算法应该不包括调用开方程序,否则形成了相互调用)实现开N次方.
我的程序实现了两种开N次方程序,一种是用迭代法实现,优点是速度较快,但N的取值不能太大,我的程序精度一万时,只能支持最大开25500次方,
第二种方法:就是通过转换成上面所述的小数指数乘方实现,速度比第一种方法慢,但理论上可以开任意次方.