几道类似的不等式

发疯的_小男孩

@数学星空 我自己编的程序弄的，陈计的程序和算法还没有公开。

Jimmy

由調和-平方平均不等式有
$3/(suma/sqrt (a^2+8bc))lesqrt((sum(a^2+8bc)/a^2)/3)$

$suma/sqrt (a^2+8bc)ge3/(sqrt(1+8/3sum(bc)/a^2))$

令$agebgec $,則有$abgeacgebc$和$1/c^2ge1/b^2ge1/a^2$
由排序不等式有$2((ab)/c^2+(ac)/b^2+(bc)/a^2)gea/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/bge6$
即$sum(bc)/a^2ge3$
所以原式$ge3/sqrt(1+8/3*3)=1$

kastin

kastin 发表于 2016-7-12 11:35
继续
7. `\D\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geqslant 1`
8. `1\leqslant \D\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ ...

证法其实有很多的，这里给出2种。
7. 利用Holder不等式的一般形式，有$$\left(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right) \left(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right) \left(\sum a(a^2+8bc)\right)\geqslant \left(\sum a \right)^3$$因此$$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geqslant1 \iff (a+b+c)^3\geqslant  \sum a(a^2+8bc)\iff c(a-b)^2+a(b-c)^2+b(c-a)^2\geqslant 0$$显然成立，当 `a=b=c` 时候取等号。
或者
利用凸函数性质，考虑 `f(x)=\D\frac{1}{\sqrt{x}}` 在 `(0,+\infty)` 上位凸函数。又由于原不等式是齐次的，故不妨设 `a+b+c=1`，于是根据Jensen不等式$$a\*f(a^2+8bc)+b\*f(b^2+8ca)+c\*f(c^2+8ab)\geqslant f(M)$$其中`\quad M=\sum a(a^2+8bc)=24abc+\sum a^3`. 故只需证明 `f(M)\geqslant 1\iff M\leqslant 1\iff 24abc+\sum a^3\leqslant (a+b+c)^3\iff \sum c(a-b)^2\geqslant 0`, 得证。
通过最后一步可知，其实这两种方法实质是一样的。

8. 这个不等式严格来说，左端无法取到等号，只能无限逼近等于号（比如`a\to 0,b\to 0,c\neq 0`）。
证明方法与上述雷同，这里就选用Holder不等式方来证明，最终等价为证明 `(a+b+c)^3\geqslant \sum a(a^2+b^2) \iff \sum a(3ab+2bc+2ac)\geqslant 0`，等号在 `a=b=0` 或其轮换时成立。
右边的不等式等价为$$\sum\frac{a^2+c^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\sqrt{\frac{4a^2(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)^2}}\leqslant \frac{3}{2}\sqrt{2}$$考虑函数 `f(x)=\sqrt{x}` 在正半轴上是凹函数，因此有$$\sqrt{\sum\frac{a^2+c^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\*\frac{4a^2(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)^2})}\leqslant\frac{3}{\sqrt{2}}$$即证$$\sum\frac{a^2(a^2+b^2+c^2)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\leqslant \frac{9}{4}\iff 8\left(\sum a^2b^2\right)\left(\sum a^2\right)\geqslant 9\prod (a^2+b^2)\iff c^2(a^2-b^2)^2\geqslant 0$$

数学星空

由于涉及的代数计算很大，现在最后一步的不等式写的更详细一些，便于广大不等式爱好者阅读理解

\(\sum{\frac{a^2(a^2+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(a^2+b^2)}}\leqslant\frac{9}{4}\).............(1)

\(\Longleftrightarrow 9\prod(a^2+b^2)\geqslant 4\sum{a^2(b^2+c^2)}\sum a^2\).......................................(2)

为了书写方便，记

\(a^2=x,b^2=y,c^2=z\)

则(2)简写为：

\(9\prod(x+y)\geqslant 4\sum{x(y+z)}\sum{x}=8\sum{xy}\sum{x}\)

\(\Longleftrightarrow 9(\sum{x(y^2+z^2)}+2xyz)\geqslant 8(3xyz+\sum{x(y^2+z^2)})\)

\(\Longleftrightarrow \sum{x(y^2+z^2)}\geqslant 6xyz\)

由于\(\sum{x(y^2+z^2)}\geqslant\sum{2xyz}=6xyz\) 即证