两道很强的三元根式不等式

发疯的_小男孩

已知 \(a,b,c\) 为非负实数，且\(a^2+b^2+c^2=3\), 求证：
\[\sqrt{a^2+3b^2} + \sqrt{b^2+3c^2} + \sqrt{c^2+3a^2} \geqslant \sqrt{12(a+b+c)}.\]
题目来源：http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1268163p6614138


下面这题是西藏-刘宝乾提出的不等式，至今无人能证明：

Let \(x,y,z\geqslant 0\), prove that:\[\sum_{cyc}{\left(\root4\of{\left(2(x+y)^2+2(y+z)^2-(x+z)^2\right)\left(2(y+z)^2+2(x+z)^2-(x+y)^2\right)}\ \right)}\\ \geqslant\frac{9}{4}\sum_{cyc}\left({\sqrt{\frac{x(x+y)(x+z)(x+y+z)}{(2x+y+z)^2}}}\ \right)+\frac{63}{8}\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}\]

(xzlbq)

kastin

第一个题目才有意思（第二个是他用软件得到的，思考意义不大），由于带有约束条件，因而化为齐次不等式或许容易点，`x,y,z>0`，令 `\D a^2=\frac{3x^2}{x^2+y^2+z^2},b^2=\frac{3y^2}{x^2+y^2+z^2},c^2=\frac{3z^2}{x^2+y^2+z^2}`，则不等式化为$$\left(\sqrt{x^2+3y^2}+\sqrt{y^2+3z^2}+\sqrt{z^2+3x^2}\right)^2\geqslant 4(x+y+z)\sqrt{3y^2+3z^2+3x^2} \tag{*}$$

发疯的_小男孩

\[2\,\sum  \left( a \right) \leq 2\,\sqrt {3}\sqrt {\sum  \left( a  \right)  \left( 1/3\,\sqrt {3}\sqrt {\sum  \left( {a}^{2} \right) } \right) }\]

kastin

发疯的_小男孩 发表于 2016-7-16 21:47
\[2\,\sum  \left( a \right) \leq 2\,\sqrt {3}\sqrt {\sum  \left( a  \right)  \left( 1/3\,\sqrt {3}\s ...

楼上公式太混乱，想表达的是下面的意思吗？$$\sqrt{3\sum x^2}\geqslant \sum (1\*x) \implies  4\sum x\sqrt{\sum 3x^2}\geqslant (2\sum x)^2 \implies \sqrt{4\sum x\sqrt{\sum 3x^2}}\geqslant 2\sum x$$