几何题目

ccmmjj

如下图:

几何难题

\(\triangle ABC\) 中，\(\angle B = 2\angle A\)。以 \(C\) 为圆心，\(BC\) 为半径的圆交 \(AB\) 的垂直平分线于 \(P,Q\) 两点。求证：\(\angle PCQ＝120\degree\)

wayne

标记AB的中点是D，C在AB 上的垂足为E点，取AB与圆的交点为F。
容易得知$ AF = CF = BC = CQ,  DE = DB- BE = 1/2(AB -BF)  =1/2 AF = 1/2 CQ$,
于是 $∠CQP = \pi/6$，得证。

ccmmjj

哦, AF=CQ, 谢谢

ccmmjj

wayne 发表于 2016-7-20 21:13
标记AB的中点是D，C在AB 上的垂足为E点，取AB与圆的交点为F。
容易得知$ AF = CF = BC = CQ,  DE = DB- BE ...

这是有关三等分角的题目变形。通过它，可以证明：角ＡＣＰ＝角ACB/3，这是当年某些人尺规三等分任意角的作图原理。你证得很漂亮。我用正弦定理和三角和差化积也可以简单证明。

wayne

尺规三等分任意角 早就被证明 是不可行的吧。

ccmmjj

wayne 发表于 2016-7-21 17:40
尺规三等分任意角 早就被证明 是不可行的吧。

我是说“某些人”用了这个题目试图三等分角，虽然可以证明“角ＡＣＰ＝角ACB/3”其实仍不能尺规作图。关于这个结论，兄台能否推导？

wayne

奥。关于结论“角ＡＣＰ＝角ACB/3”，可以这么做：
$∠ACP = 60° - ∠A=1/3(180° - 3∠A)=1/3(180° -∠A -∠B) = 1/3∠ACB$