成等差数列的概率

manthanein · 发表于 2016-7-23 21:51:12

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一个箱子里放有n张纸片，每张纸片上写有一个数，所有的数形成了一个等差数列。
每次从箱子里每次随机抽取一张纸片（抽后放回），抽取m次后，求所得到的数成等差数列的概率。

KeyTo9_Fans · 发表于 2016-7-24 14:29:03

当$m<3$时，概率为$1$。

当$m\geq 3$时：

　　公差为$0$的概率：$n/n^m$

　　公差为$1$的概率：$\frac{n-m+1}{n^m}$

　　公差为$2$的概率：$\frac{n-2m+2}{n^m}$

　　公差为$3$的概率：$\frac{n-3m+3}{n^m}$

　　……

　　由于公差最大只能是$\frac{n-1}{m-1}$

　　以上相加，得到所求概率为$\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{m-1}}\frac{n-k(m-1)}{n^m}$。

mathe · 发表于 2016-7-24 17:13:39

Fans的公式可以进一步，设$d=[{n-1}/{m-1}]$
于是结果为${dn-{d(d+1)(m-1)}/2}/{n^m}~={dn}/{2n^m}~=1/{2mn^{m-2}}$

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