最值

manthanein

给定\(n\)个实数，\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)……\(x_n\)
在满足如下条件的情况下（\(t_1\)、\(t_2\)、\(t_3\)……\(t_n\)均为常数）：
\( \displaystyle  \sum_{i=1}^n \frac{t_i}{x_i} = 1 \)
求这个式子的最值：
\( \displaystyle  \prod_{i=1}^n {x_i} \)


可以先考虑全为正数的情况

mathe

目标函数取自然对数变成求$\sum_{i=1}^n\ln(x_i)$的极值
于是要求$1/{x_i}+r{t_i}/{x_i^2}=0$
于是转化为$x_i=-rt_i$,得出$x_i=nt_i$的时候取到唯一极值，这时函数取值为$n^n\prod_{i=1}^n t_i$
而边界条件为至少一个$x_i$趋向无穷，显然这时乘积趋向无穷大。
所以得出最小值$n^n\prod_{i=1}^n t_i$，而没有最大值

mathe

直接初等方法也可以得出最小值，即使用平均不等式即可

manthanein

mathe 发表于 2016-7-24 16:23
目标函数取自然对数变成求$\sum_{i=1}^n\ln(x_i)$的极值
于是要求$1/{x_i}+r{t_i}/{x_i^2}=0$
于是转化为 ...

第二步是用拉格朗日乘数法做的吗？