三边三角（角度制）均为整数的三角形

manthanein · 发表于 2016-7-25 18:37:20

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本帖最后由 manthanein 于 2016-7-25 18:43 编辑

存在这样的三角形吗？等边三角形是个平凡解，除外。
进一步，存在一个四条边、四个角、两条对角线都是整数的平行四边形吗？（非平凡解）

mathe · 发表于 2016-7-25 19:06:55

三边长都是有理数，那么根据余弦定理三角余弦值都是有理数。
利用切皮雪夫多项式可以证明有理角度的余弦值是有理数的只有60度和90度的整数倍

manthanein · 发表于 2016-7-25 19:48:27

也就是说角度只能是60°、90°、120°这几个了。

manthanein · 发表于 2016-7-25 19:50:48

那么只能是等边三角形了。
对于平行四边形的情况，除去矩形情形，也就是60°和120°的情况了。

manthanein · 发表于 2016-7-25 19:58:22

根据这个帖子（http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... digest%26digest%3D1），60°和120°的组合也是不可能的。
既然这两个问题轻松解决了，那么我想考虑更复杂的情形：平面凸多边形的边、内角、对角线都是整数，那么这个多边形是什么样的。

manthanein · 发表于 2016-7-25 20:01:49

角度只能是60°、90°、120°这几个了。
60°的外角是120°，最多只能有3个。
90°的外角是90°，最多只能有4个。
120°的外角是60°，最多只能有6个。
假设有x个60°，y个90°，z个120°。那么：
120x+90y+60z=360
4x+3y+2z=12

manthanein · 发表于 2016-7-25 20:05:12

y必然为偶数，所以令y=2t
4x+6t+2z=12
2x+3t+z=6
3t+2x+z=6

t,x,z
2,0,0
1,1,1
1,0,3
0,3,0
0,2,2
0,1,4
0,0,6

manthanein · 发表于 2016-7-25 20:06:06

x,y,z
0,4,0
1.2.1
0,2,3
3,0,0
2,0,2
1,0,4
0,0,6

manthanein · 发表于 2016-7-25 20:09:53

所以：
（1）4个90°。也就是矩形。
（2）1个60°，2个90°，1个120°。一个四边形。
（3）2个90°，3个120°。一个五边形。
（4）3个60°。也就是等边三角形。
（5）2个60°，2个120°。一个四边形。
（6）1个60°，4个120°。一个五边形。
（7）6个120°。一个六边形。

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