这个解方程的小程序错在哪里了？怎样修改？

TSC999

问题：有3个正整数 a, b, c, 已知GCD(a, b)=12，GCD(a, c)=15， LCM(a, b, c)=120，求 a, b, c 这三个数。

我用解方程的办法编写了下面这个小程序，却执行错误。不知毛病出在哪里？

1. Solve[{GCD[a, b] == 12, GCD[a, c] == 15,
   
2.    LCM[a, b, c] == 120}, {a, b, c}, Integers]

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TSC999

原帖子中，mathematica 不允许 GCD[a,b]==12 以及 LCM[a,b,c]==120 之类的语句作为一个方程出现（希望将来更高的版本允许这样做 )。

为此，有人提出了下面的解决方案（从定义出发列方程）：

1. Solve[{a == 12×5 p , b == 12 q, c == 3×5 r, a b c/(12×15) == 120,
   
2.   p > 0, q > 0, r > 0, r != 2}, {a, b, c, p, q, r}, Integers ]

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可以得到正确结果：
{{a -> 60, b -> 24, c -> 15, p -> 1, q -> 2, r -> 1}, {a -> 120,  b -> 12, c -> 15, p -> 2, q -> 1, r -> 1}}

但是，这样做有点小瑕疵，就是人为地判断出 r 不能等于 2.  如果能用 GCD[p, r]=1 来代替 r≠2 就好了，但是方程中不可以使用这样的语句。
在方程中有什么办法表示 p 与 r 互质呢？

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. Do[If[GCD[a,b]==12&&GCD[a,c]==15&&LCM[a,b,c]==120,Print[{a,b,c}]]
   
3. ,{a,60,120,60},{b,12,120,12},{c,15,120,15}]
   
4. Do[If[GCD[a,b]==12&&GCD[a,c]==15&&LCM[a,b,c]==120,Print[{a,b,c}]]
   
5. ,{a,1,120},{b,1,120},{c,1,120}]
   

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穷举法是最好的办法