行列式证明

shower

试证明：\[\begin{vmatrix}
\sqrt{n+1} &\sqrt{n+2}&\sqrt{n+3}\\
\sqrt{n+4} &\sqrt{n+5}&\sqrt{n+6}\\
\sqrt{n+7} &\sqrt{n+8}&\sqrt{n+9}\\
\end{vmatrix}\ne0\]

shower

问到解了，也贴一下好了
用反证法。假定存在 `n=n_0`, 使得上述行列式为零，那么存在不全为零的`a,b,c`使得\[a\begin{pmatrix}
\sqrt{n_0+1}\\
\sqrt{n_0+4}\\
\sqrt{n_0+7}\\
\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}
\sqrt{n_0+2}\\
\sqrt{n_0+5}\\
\sqrt{n_0+8}\\
\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}
\sqrt{n_0+3}\\
\sqrt{n_0+6}\\
\sqrt{n_0+9}\\
\end{pmatrix}=0\]也就是方程\[a\sqrt{x+1}+b\sqrt{x+2}+c\sqrt{x+3}=0\]至少有3个不同的根`n_0,n_0+3,n_0+6`.
但通过去根号整理可见上述方程至多是一个关于 `x` 的 2 次方程，最多有2 个不同的根。矛盾！

wayne

方法不错，赞。